Laboratorio: spettro di un segnale

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In laboratorio è possibile fare misure sullo spettro di un segnale utilizzando:

un oscilloscopio digitale dotato della funzione DFT (Discrete Fourier Transform)
un analizzatore di spettro come quello mostrato nella fotografia di apertura, strumento tipicamente usato per segnali a radiofrequenza

In questa pagina è descritto come utilizare Picoscope 2205A MSO (software versione 7.1.2, l'ultima stabile nel momento della stesura di questa pagina), prodotto da Pico Technology. Prove analoghe sono mostrate con una versione precedente del software nella pagina Laboratorio: spettro di un segnale (v 6) e possono essere effettuate con qualunque oscilloscopio digitale moderno.

Attività 1

Generiamo un segnale sinusoidale con ampiezza di circa 1 V e frequenza di qualche chilohertz (nell'esempio mostrato: V_P = 1,8 V e f = 7.5 kHz). Visualizziamo il segnale nel dominio del tempo collegando direttamente l'uscita del Generatore di Funzioni ad un ingresso dell'oscilloscopio:

Sonda collegata direttamente al GdF

Sinusoide nel dominio del tempo

Per visualizzare lo spettro occorre utilizzare le icone Instruments e Spectrum, evidenziate nell'immagine seguente:

Lo spettro mostrato dall'oscilloscopio sarà piuttosto diverso da quanto atteso, a causa dell'uso di una scala logaritmica (tensione misurata in dBu, nota 2) e di un intervallo molto ampio di frequenze (fino a 8 MHz).

Spettro di una sunusoide (scala logaritmica)

Per questo è opportuno impostare nel menù Spectrum una frequenza massima pari a qualche volta la frequenza della sinusoide (nota 3) ed una scala lineare per l'asse verticale.

Impostazione della scala lineare

Attenzione: nel grafico è mostrata la tensione efficace (V_RMS), scelta preferita in ambito tecnico.

Prima di proseguire è utile osservare quanto mostrato nella casella Spectrum, di seguito evidenziata:

La frequenza 20 kHz è quella presente sull'asse orizzontale del grafico, a destra
Il Sample rate (frequenza di campionamento, misurata in kS/s) è pari al doppio della precedente frequenza. Questo valore è la condizione minima richiesta dal teorema del campionamento per campionare correttamente tutte le frequenza mostrate nel grafico
Bins (la traduzione letterale come contenitore non aiuta a comprendere...) indica quante linee spettrali vengono calcolate dallo strumento. Per ragioni di efficienza computazionale (argomento complesso: Fast Fourier transform) sono sempre una potenza di due. Dividendo la frequenza per il numero di bins si ottiene la risoluzione spettrale (Bins width), ciò la distanza minima tra due linee spettrali affinché siano distinguibili.

Per le misure è possibile utilizzare:

i Rulers (righelli). Per una misura accurata delle ampiezze delle linee spettrali è necessario impostare la funzione di window (nota 5) a Flat-top:

Window Flat-top

le misure automatiche (measurements). In questo caso è utile posizionare un ruler della frequenza sovrapposto ad una linea spettrale e specificare Peak nearest ruler 1 (oppure 2)

Nell'immagine seguente sono mostrate entrambe le tecniche:

Attività 2

Generiamo un segnale ad onda quadra con ampiezza di circa 1 V e frequenza di esattamente 2 kHz (nota 1). Anche in questo caso lo spettro mostrato dall'oscilloscopio sarà piuttosto diverso da quanto atteso, ma procedendo come mostrato nell'Attività 1 si ottiene lo spettro seguente:

Spettro dell'onda quadra (2 kHz)

Con i ruler oppure gli strumenti automatici è possibile misurare l'ampiezza e la frequenza delle singole linee spettrali.

Attenzione: nel grafico è mostrata la tensione efficace delle varie sinusoidi!

Confrontare i dati ottenuti con quanto mostrato in questa pagina, compilando la seguente tabella:

	Prima linea spettrale	Seconda linea spettrale	Terza linea spettrale	Quarta linea spettrale	...
Ampiezza di picco teorica
Ampiezza RMS teorica
Ampiezza RMS misurata
Frequenza teorica
Frequenza misurata

Attività 3

L'immagine seguente contiene una significativa incongruenza, almeno apparentemente: il generatore di funzioni genera una sinusoide con frequenza 12 kHz, ma lo spettro mostra una sinusoide con frequenza 8 kHz. Perché? (nota 4)

Attività 4

Generiamo un segnale ad onda quadra con ampiezza di circa 1 V e frequenza di 3 kHz. In base alla teorema delle serie di Fourier, questo segnale contiene infinite linee spettrali con frequenza multiplo intero dispari di 3 kHz.

Procedendo allo stesso modo mostrato nelle precedenti attività però lo spettro visualizzato contiene una serie di linee che non dovrebbero essere presenti, indicate dalle frecce rosse nell'immagine che segue:

Il motivo deriva dal mancato rispetto del teorema del campionamento:

l'onda quadra contiene un numero molto elevato di linee spettrali, teoricamente infinito : 3 kHz, 9 kHz, 15 kHz, 21 kHz, 24 kHz...
La frequenza di campionamento scelta è pari a 40 kHz, come mostrato dall'oscilloscopio
Le linee spettrali con frequenza oltre i 20 kHz causano aliasing, cioè segnali che nella realtà non esistono...

Per risolvere il problema è necessario aumentare in modo significativo la frequenza di campionamento, fino a quando le linee spettrali diventano sufficientemente piccole per poter essere ignorate. Di seguito un esempio, migliorabile dal punto di vista della visualizzazione con lo Zoom (non mostrato):

Spettro esteso

Cosa succede se si aumenta o diminuisce (di poco) la frequenza?
Cosa succede se si aumenta o diminuisce (di poco) l'ampiezza?

Attività 5

Generare un segnale rettangolare con frequenza di 2 kHz e Duty Cycle del 20%, utilizzando il generatore arbitrario di segnali (AWG).

Spettro di un segnale rettangolare

Confrontare lo spettro con quanto mostrato nella pagina Onda rettangolare. Misurare in particolare la frequenza delle linee spettrali.

[Approfondimento] Attività 6

Esplorare lo spettro di altri segnali (triangolare, a denti di sega, sinusoidale) individuando gli aspetti descritti nella pagina Serie di Fourier.

[Approfondimento] Attività 7

Un segnale sweep (da "spazzare") è un segnale sinusoidale la cui frequenza passa con continuità da un valore ad un altro.

Per generarlo con il generatore di funzioni interno a Picoscope occorre impostare la corrispondente voce del menu. Per esempio le seguenti impostazioni generano una sinusoide la cui frequenza varia da 8 kHz a 10 kHz e viceversa (Up Down) cambiando di 100 Hz ogni 200 µs.

Lo spettro, piuttosto sorprendente, è mostrato nell'immagine seguente:

Spettro del segnale FM

Descrizione:

Sono presenti numerose linee spettrali la cui ampiezza varia in modo apparentemente casuale
Le linee più ampie sono comprese tra circa 7,5 kHz e 10,5 kHz (ma sono presenti anche altre piccole linee spettrali)
Le linee sono praticamente disposte simmetricamente rispetto alla frequenza di 9 kHz

Queste caratteristiche sono simili allo spettro della modulazione di frequenza usata nelle trasmissioni radio FM da oltre 50 anni.

[Approfondimento] Attività 8

Generare un segnale digitale semi-casuale (PRBS, Pseudo Random Binary Sequence) se disponibile. In alternativa, utilizzare Arduino per generare una sequenza seriale continuamente variabile, da trasmettere con l'interfaccia SPI (attività 1).

Analizzare lo spettro del segnale e confrontarlo con quanto descritto alla pagina Trasformata di Fourier.

Attività 9

In molte situazioni l'ampiezza delle linee spettrali è misurata in dBV (per le tensioni) oppure dBm (per le potenze).

La misura in dBV viene effettuata impostando l'asse Y in modalità logaritmica e scegliendo come unità di misura il dBV:

Misura in dBV

Il grafico mostrato è simile al seguente, relativo ad un segnale sinusoidale.

Spettro di una sinusoide con unità logaritmiche

Oltre alla linea in corrispondenza della frequenza della sinusoide, si notano numerosissime linee con ampiezza casuale e MOLTO più piccole della sinusoide. Si tratta del rumore di quantizzazione: esso ha, nell'esempio mostrato, ampiezza di circa -75 dBV ed è circa 65 dB inferiore all'ampiezza della sinusoide.

L'ampiezza della sinusoide può essere misurata con i rulers. Per una misura accurata è necessario impostare anche in questo caso la funzione di window a Flat-top.

Generare un segnale sinusoidale con ampiezza di circa 1 V e frequenza di circa 2 kHz
Visualizzare lo spettro con ampiezza espressa in dBV
Confrontare il valore misurato con i cursori con quanto calcolabile con le formule teoriche. Nell'analisi dei dati prestare particolare attenzione al legame tra tensione di picco ed efficace, quando espresse in unità lineari o logaritmiche!

Ampiezza teorica di picco - V
Ampiezza teorica RMS - V
Ampiezza teorica di picco - dBV
Ampiezza teorica RMS - dBV
Ampiezza misurata RMS - dBV

Attività 10

Lo spettro di potenza è visualizzato impostando gli assi in modalità logaritmica e scegliendo come unità di misura il dBm; inoltre è necessario specificare la resistenza che sceglieremo pari a quella di uscita del generatore di funzioni (600 Ω).

Il grafico mostrato è simile al seguente, non molto diverso dal precedente se non per il fatto che si tratta di uno spettro di potenza:

L'ampiezza della sinusoide può essere misurata con i rulers. Per una misura accurata è necessario impostare anche in questo caso la funzione di window a Flat-top.

Generare un segnale sinusoidale con ampiezza di circa 1 V e frequenza di circa 2 kHz
Visualizzare lo spettro di potenza
Confrontare il valore misurato con i cursori con quanto calcolabile con le formule teoriche. Nell'analisi dei dati prestare particolare attenzione al legame tra tensione di picco ed efficace, quando espresse in unità lineari o logaritmiche! Ed anche tra valore efficace e potenza.

Ampiezza teorica RMS - V
Potenza teorica - mW
Potenza teorica - dBm
Potenza misurata - dBm

Attività 11

Generare un segnale ad onda quadra di circa 500 mV e visualizzare lo spettro in dBV e quello in dBm. Molto probabilmente, oltre al rumore, sarà presente anche l'effetto dell'aliasing (perché?)

Spettro dell'onda quadra - dBV

Confrontare i valori misurati per le ampiezza delle prime linee spettrali con quelli teorici (la prima colonna della tabella è esemplificativa, da modificare con i propri dati)

	Prima linea spettrale	Seconda linea spettrale	Terza linea spettrale	Quarta linea spettrale	...
Ampiezza teorica di picco - V	0.637 V
Ampiezza teorica RMS - V	0.450 V
Ampiezza teorica di picco - dBV	-3,92 dBV
Ampiezza teorica RMS - dBV	-6.93 dBV
Ampiezza misurata RMS - V	0.45 V
Ampiezza misurata RMS - dBV	-6.95 dBV
Potenza teorica - mW	0.338 mW
Potenza teorica - dBm	-4.71 dBm
Potenza misurata - dBm	-4.74 dBm

Attività 12

In alcune situazioni può essere utile visualizzare l'asse delle frequenza su scala logaritmica e l'asse verticale come dBV o dBm, ottenendo quello spesso indicato come grafico semi-logaritmico:

Di seguito come appare lo spettro di una sinusoide e di un'onda quadra su grafico semilogaritmico:

Note

Si tratta di una caso particolare che, in funzione della frequenza di campionamento, non crea evidenti problemi di aliasing, come descritto nell'attività 3
Nelle misure reali viene in genere preferita la scala logaritmica per le tensioni, ma questa tende a confondere se non è ben chiaro il suo significato
Nel caso di segnali sinusoidali non sono necessari particolari accorgimenti nella scelta della frequenza di campionamento, purché sia rispettato il teorema del campionamento
Utile osservare quale è la frequenza di campionamento mostrata nell'immagine e confrontare con quanto richiesto dal teorema del campionamento
Le funzioni di window sono un argomento piuttosto avanzato dell'analisi spettrale. La necessità del loro uso deriva dalla non sincronicità della frequenza di campionamento con quella del segnale e permettono di avere una migliore stima dell'ampiezza oppure della frequenza del segnale (non di entrambe contemporaneamente)

Data di creazione di questa pagina: ottobre 2020
Ultima modifica: 12 ottobre 2023