Il segnale sinusoidale assume un'importanza fondamentale in molti aspetti dell'analisi dei segnali elettrici variabili. Tale segnale è caratterizzato nel tempo da un andamento simile alla funzione seno, da cui il nome.
In questa pagina verranno mostrati alcuni modi per descrivere questo segnale; verranno usate soprattutto rappresentazioni grafiche perché più utili in ambito applicativo e perché mascherano aspetti matematici anche molto avanzati, quali i numeri complessi o le serie di Fourier, in genere affrontati nei corsi di matematica solo in anni successivi (o non affrontati affatto nelle scuole superiori...).
Un segnale sinusoidale ha diverse rappresentazioni grafiche:
Diversi i motivi dell'importanza del segnale sinusoidale:
L'ultimo aspetto è quello concettualmente più importante nel contesto in cui queste pagine sono state scritte.
Un segnale sinusoidale è descritto nel tempo dalla funzione y(x) = sin(x). La variabile indipendente x è costituita dal tempo, sempre indicato con la lettera minuscola t (normalmente moltiplicato per una costante); la variabile dipendente y è costituita da una tensione oppure da una corrente, anch'esse indicate con lettere minuscole, tipicamente v oppure i.
Come esempio consideriamo un segnale sinusoidale (nota 1) con:
La sua rappresentazione grafica (nel dominio del tempo) è la seguente;
Alcune precisazioni:
In ambito tecnico si preferisce fare riferimento a tensione efficace VRMS, espressa in volt, e frequenza, espressa in hertz.
La sua funzione analitica (nota 1) è la seguente:
Disegnare il grafico di una tensione sinusoidale con ampiezza efficace VRMS = 5 V, frequenza f = 10 kHz. Scrivere inoltre (nota 1) la funzione corrispondente.
Il segnale è sinusoidale e quindi dalla tensione efficace possiamo immediatamente ricavare che la tensione massima è circa VMAX = 7 V e la tensione minima circa Vmin = -7 V.
Il periodo è T = 1/f = 0,1 ms = 100 µs. Il grafico è il seguente:
La pulsazione è ω = 2·π·f = 6,28·104 rad/s. La funzione che descrive tale curva è quindi:
v(t) = 7 · sin(6,28·104 · t)
La rappresentazione di una sinusoide nel dominio del tempo è un'astrazione matematica che:
Per questo è stata introdotta una rappresentazione grafica della sinusoide più semplice da disegnare ed immediata da comprendere: un grafico nel dominio della frequenza:
Tale grafico è chiamato spettro del segnale (nota 7) e la linea verticale linea spettrale.
Come ampiezza può indifferentemente essere scelta la tensione di picco oppure la tensione efficace; per evitare incomprensioni occorre specificare quale delle due tensioni è stata scelta.
Si noti come la rappresentazione grafica nel dominio delle frequenze non ha apparentemente nulla in comune con quello nel dominio del tempo.
Una sinusoide con ampiezza di picco 1 V e frequenza 2 kHz può essere disegnata nel dominio delle frequenze con il seguente grafico:
Come alternativa, lo spettro della stessa sinusoide può essere rappresentata con il valore efficace, pari in questo caso a circa VRMS = 0,7 V):
Importante: i due grafici precedenti sono diversi, ma rappresentano la stessa sinusoide! Occorre sempre specificare se la tensione rappresentata nel grafico è quella di picco oppure quella efficace.
Due sinusoidi possono differire tra di loro, oltre che per ampiezza e frequenza, anche per il ritardo temporale tra di esse, misurato in corrispondenza del passaggio per l'asse orizzontale. In particolare siamo interessati ad esaminare il caso in cui le due sinusoidi hanno la stessa frequenza.
Il ritardo TD può essere espresso:
T : 360° = TD : φ (nota 9)
T : 2π = TD : φ (nota 9)
La lettera greca φ è chiamata fase tra i due segnali ed è espressa in gradi oppure in radianti (nota 6).
Due sinusoidi in ritardo tra di loro sono dette sfasate (cioè con fase diversa da zero).
Il grafico seguente mostra due sinusoidi con la stessa frequenza (f = 1/2 µs = 500 kHz) ed ampiezza di picco diversa (3 V e 2 V).
Il segnale verde è in ritardo di 167 ns rispetto a quello rosso; in alternativa possiamo dire che il segnale rosso è in anticipo di 167 ns rispetto a quello verde.
Partendo dalla relazione T : 360° = TD : φ possiamo calcolare la fase come φ = 167/2000·360 = 30°.
Partendo dalla relazione T : 2π = TD : φ possiamo calcolare la fase come φ = 167/2000·6,28 = 0,5 rad.
Possiamo indicare la fase anche per una singola sinusoide, espressa rispetto ad una "sinusoide immaginaria" passante per l'origine degli assi ed utilizzando le stesse relazioni sopra riportata.
Per quanto riguarda il segno, la fase è positiva se la sinusoide è in anticipo (cioè "inizia prima" dell'asse verticale), negativa per le sinusoidi in ritardo ("inizia dopo" dell'asse verticale).
Ovviamente la fase è arbitraria, essendo arbitraria la posizione dell'asse verticale.
Possiamo inserire la fase (espressa in radianti) nella funzione analitica del segnale sinusoidale:
Nell'esempio seguente abbiamo una sinusoide, non passante per l'origine degli assi.
La funzione corrispondente è:
Per una verifica dei risultati si più calcolare la funzione per t = 0 e confrontare con il grafico:
v(0) = 2 · sin (π/4) = 1.41 V
Nessuna rappresentazione grafica del segnale sinusoidale è perfetta:
Una rappresentazione vettoriale mette in evidenza la fase e l'ampiezza della sinusoide attraverso un vettore (fasore) la cui origine coincide con quella degli assi cartesiani:
Per l'ampiezza può essere utilizzata sia la tensione efficace che quella di picco; ovviamente va specificata la scelta effettuata.
La contropartita di questa rappresentazione è la perdita dell'informazioni relativa alla frequenza, informazione che deve essere fornita separatamente (se necessario).
Il grafico seguente riporta in rosso il fasore che rappresenta una sinusoide con:
Con questa rappresentazione grafica non abbiamo alcuna informazione sulla frequenza della sinusoide.
A volte sugli assi di questa rappresentazione non sono indicate le unità di misura: si tratta di una scelta formalmente non corretta, ma a volte tollerata.
Data di creazione di questa pagina: aprile 2020
Ultima modifica: 23 novembre 2024
Immagine di apertura tratta da: Architas - CC BY-SA 4.0 - Simulacro di Paolina Borghese, ritratta come Venere vincitrice da Antonio Canova nel primo decennio del diciannovesimo secolo.
Appunti scolastici - Versione 0.1028 - Novembre 2024
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