Segnale sinusoidale

Il segnale sinusoidale assume un'importanza fondamentale in molti aspetti dell'analisi dei segnali elettrici variabili.

In questa pagina verranno mostrati alcuni modi per descrivere tale segnale; verranno usate soprattutto rappresentazioni grafiche perché più utili in ambito applicativo e perché mascherano aspetti matematici anche molto avanzati, quali i numeri complessi o le serie di Fourier, in genere affrontati nei corsi di matematica solo in anni successivi (o non affrontati affatto...).

Un segnale sinusoidale ha diverse rappresentazioni:

Importanza del segnale sinusoidale

Diversi i motivi dell'importanza del segnale sinusoidale:

Tensione e corrente con un generatore di forma d'onda triangolare

Tensione e corrente con un generatore di forma d'onda sinusoidale

Tensione e corrente con un generatore di forma d'onda quadro

L'ultimo aspetto è quello concettualmente più importante nel contesto in cui queste pagine sono state scritte.

Segnale sinusoidale nel dominio del tempo

Un segnale sinusoidale è caratterizzato nel tempo da un andamento simile alla funzione y(x)=sin(x). La variabile indipendente x è costituita dal tempo, sempre indicato con la lettera minuscola t (normalmente moltiplicato per una costante e sommato ad un'altra costante); la variabile dipendente y è costituita da una tensione oppure, più raramente, da una corrente, anch'esse indicate con lettere minuscole, tipicamente v o i.

Come esempio consideriamo un segnale sinusoidale con:

La sua rappresentazione grafica (nel dominio del tempo) è la seguente;

Segnale sinusoidale, primo esempio

La sua funzione analitica è la seguente:

v(t)

Purtroppo nessuna delle due rappresentazioni è di immediata comprensione, anche perché ciascuno degli elementi che descrivono l'andamento sinusoidale è esprimibile in svariati modi:

In ambito tecnico si preferisce fare riferimento a tensione efficace VRMS, espressa in volt, frequenza, espressa in hertz, e fase, espressa in gradi.

Esempio

Disegnare il grafico di una tensione sinusoidale con ampiezza efficace VRMS = 5 V, frequenza f = 10 kHz e fase φ = 0°. Scrivere la funzione corrispondente.

Il segnale è sinusoidale e quindi dalla tensione efficace possiamo immediatamente ricavare che la tensione massima è circa 7 V e la tensione minima circa - 7 V. Inoltre il periodo è 0,1 ms = 100 µs. La fase è nulla e quindi la sinusoide passa per l'origine (nota 3). Il grafico è il seguente:

Esempio 2

La pulsazione è ω = 6,28·104 rad/s. La funzione che descrive tale curva è quindi:

v(t) = 7 · sin(6,28·104 · t)

Segnale sinusoidale: esercizi

Segnale sinusoidale nel dominio della frequenza

La rappresentazione di una sinusoide nel dominio del tempo è un'astrazione matematica che:

Per questo è stata introdotta una rappresentazione grafica più semplice per disegnare una sinusoide: il dominio della frequenza:

Esempio

Una sinusoide con ampiezza di picco 1 V e frequenza 2 kHz può essere disegnata nel dominio delle frequenze con il seguente grafico:

Spettro della sinusoide

Tale grafico è chiamato spettro del (valore di picco) del segnale (nota 7) e la linea verticale linea spettrale.

Nello spettro, così come descritto con questa versione semplificata, non sono presenti informazioni relative alla fase φ, ma solo al modulo,

Segnale sinusoidale: esercizi

Rappresentazione vettoriale

Lo spettro del segnale, nella versione semplificata descritta in questa pagina, perde le informazioni relative alla fase.

Una rappresentazione vettoriale di una sinusoide mette in evidenza la fase e l'ampiezza attraverso la rappresentazione cartesiana di un vettore:

Il legame tra le lunghezze dei segmenti e gli angoli può essere trovato con semplici formule trigonometriche oppure il teorema di Pitagora.

La contropartita di questa rappresentazione è la perdita dell'informazioni relativa alla frequenza, che deve essere fornita separatamente (se necessario).

Esempio

Il grafico seguente riporta in rosso la rappresentazione vettoriale di una sinusoide con:

 

Rappresentazione vettoriale

A volte sugli assi di questa rappresentazione non sono indicate le unità di misura: si tratta di una scelta formalmente non corretta, ma a volte tollerata.

Segnale sinusoidale: esercizi

Impedenza

In regime continuo, il legame tra tensione e corrente nei circuiti lineari è dato dalla legge di Ohm. La costante di proporzionalità che lega le due grandezze è indicata con il termine resistenza, misurale in ohm (Ω). In genere la resistenza è indicata con la lettera R maiuscola.

In regime sinusoidale, il legame tra tensione e corrente nei circuiti lineari è dato da una estensione della legge di Ohm. La costante di proporzionalità che lega le due grandezza è indicata con il termine impedenza, misurale anch'essa in ohm (Ω). In genere l'impedenza è indicata con la lettera Z maiuscola.

L'estensione della legge di Ohm utilizza il metodo simbolico che, attraverso il formalismo matematico dei numeri complessi, rende possibile lo studio di reti lineari in regime sinusoidale applicando tutti i teoremi ed i principi tipici delle regime continuo.

Se siamo interessati solo all'ampiezza della corrente e della tensione e non alla sua fase (cioè al solo modulo della corrente e della tensione) possiamo considerare solo il modulo dell'impedenza, ottenendo un'espressione coincidente con la legge di Ohm anche nell'uso degli ordinari numeri reali.

Legge di Ohm

Per i tre componenti lineari (resistori, induttori e condensatori), le seguenti formule permettono di calcolare il modulo dell'impedenza:

Impedenza

Si noti che tali valori NON possono essere utilizzati in altre formule, quali il calcolo dell'impedenza di componenti in serie e parallelo oppure nelle equazioni di Kirchhoff. In questi casi è necessario fare riferimento al metodo simbolico.

Note

  1. La definizione rigorosa di questa grandezza va oltre gli scopi di questi appunti
  2. Questa relazione vale per le sinusoidi, non per altri segnali
  3. La fase è convenzionale, essendo arbitrario l'istante in cui t = 0. In genere viene utilizzato solo per indicare differenze di fase (sfasamento) tra due segnali sinusoidali diversi, ma con la stessa frequenza, come mostrato nell'esercizio 4
  4. Tale proprietà NON vale per i circuiti non lineari
  5. Esistono molti di tali istanti, tutti distanziati tra di loro del periodo T. Nell'esempio vale circa 8 µs oppure 58 µs oppure -42 µs
  6. Il modulo di tale angolo può essere ricavato dalla relazione 360 : T = φ : td oppure 2π : T = φ : td. il segno è negativo in quanto il segnale è "in ritardo"
  7. Quello qui descritto è solo una parte dello spettro, quello relativo al modulo: mancano infatti informazioni relative alla fase
  8. A volte invece della tensione di picco è indicata la tensione efficace (occorre specificarlo esplicitamente!); è possibile anche riportare la potenza. Tutte queste grandezze possono essere espresse sia in unità lineari che unità logaritmiche


Data di creazione di questa pagina: aprile 2020
Ultima modifica: 7 gennaio 2023


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