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Il segnale sinusoidale assume un'importanza fondamentale in molti aspetti dell'analisi dei segnali elettrici variabili. Tale segnale è caratterizzato nel tempo da un andamento simile alla funzione seno, da cui il nome.
In questa pagina verranno mostrati alcuni modi per descrivere questo segnale; verranno usate soprattutto rappresentazioni grafiche perché più utili in ambito applicativo e perché mascherano aspetti matematici anche molto avanzati, quali i numeri complessi o le serie di Fourier, in genere affrontati nei corsi di matematica solo in anni successivi (o non affrontati affatto...).
L'immagine di apertura mostra il simulacro di Paolina Borghese, ritratta come Venere vincitrice da Antonio Canova nel primo decennio del diciannovesimo secolo. Ovviamente non c'entra nulla con il contenuto di questa pagina.
Un segnale sinusoidale ha diverse rappresentazioni grafiche:
Diversi i motivi dell'importanza del segnale sinusoidale:
L'ultimo aspetto è quello concettualmente più importante nel contesto in cui queste pagine sono state scritte.
Un segnale sinusoidale è descritto nel tempo dalla funzione y(x) = sin(x). La variabile indipendente x è costituita dal tempo, sempre indicato con la lettera minuscola t (normalmente moltiplicato per una costante); la variabile dipendente y è costituita da una tensione oppure, più raramente, da una corrente, anch'esse indicate con lettere minuscole, tipicamente v oppure i.
Come esempio consideriamo un segnale sinusoidale con:
La sua rappresentazione grafica (nel dominio del tempo, nota 1) è la seguente;
Alcune precisazioni:
In ambito tecnico si preferisce fare riferimento a tensione efficace VRMS, espressa in volt, e frequenza, espressa in hertz.
La sua funzione analitica (nota 1) è la seguente:
Disegnare il grafico di una tensione sinusoidale con ampiezza efficace VRMS = 5 V, frequenza f = 10 kHz. Scrivere (nota 1) la funzione corrispondente.
Il segnale è sinusoidale e quindi dalla tensione efficace possiamo immediatamente ricavare che la tensione massima è circa 7 V e la tensione minima circa -7 V. Inoltre il periodo è 0,1 ms = 100 µs. Il grafico è il seguente:
La pulsazione è ω = 6,28·104 rad/s. La funzione che descrive tale curva è quindi:
v(t) = 7 · sin(6,28·104 · t)
La rappresentazione di una sinusoide nel dominio del tempo è un'astrazione matematica che:
Per questo è stata introdotta una rappresentazione grafica più semplice per disegnare una sinusoide ed immediata da comprendere: il dominio della frequenza:
Tale grafico è chiamato spettro del (valore di picco) del segnale (nota 7) e la linea verticale linea spettrale.
Si noti come la rappresentazione grafica nel dominio delle frequenze non ha apparentemente nulla in comune con quello nel dominio del tempo.
Una sinusoide con ampiezza di picco 1 V e frequenza 2 kHz può essere disegnata nel dominio delle frequenze con il seguente grafico:
Due sinusoidi possono differire tra di loro, oltre che per ampiezza e frequenza, anche per il ritardo temporale tra di esse, misurato in corrispondenza del passaggio per l'asse orizzontale. In particolare siamo interessati ad esaminare il caso in cui le due sinusoidi hanno la stessa frequenza.
Il ritardo TD può essere espresso:
T : 360° = TD : φ
T : 2π = TD : φ
La lettera greca φ è chiamata fase tra i due segnali ed è espressa in gradi oppure in radianti.
Due sinusoidi in ritardo tra di loro sono dette sfasate (cioè con fase diversa da zero).
Il grafico seguente mostra due sinusoidi con la stessa frequenza (f = 1/2 µs = 500 kHz) ed ampiezza di picco diversa (3 V e 2 V).
Il segnale verde è in ritardo di 167 ns rispetto a quello rosso; in alternativa possiamo dire che il segnale rosso è in anticipo di 167 ns rispetto a quello verde.
Partendo dalla relazione T : 360° = TD : φ possiamo calcolare la fase come φ = 167/2000·360 = 30°.
Partendo dalla relazione T : 2π = TD : φ possiamo calcolare la fase come φ = 167/2000·6,28 = 0,5 rad.
Possiamo indicare la fase anche per una singola sinusoide, espressa rispetto ad una "sinusoide immaginaria" passante per l'origine degli assi ed utilizzando le stesse relazioni sopra riportata. La fase è convenzionalmente positiva se la sinusoide è in anticipo ("inizia prima" dell'asse verticale), negativa per le sinusoidi in ritardo ("inizia dopo" dell'asse verticale).
Ovviamente la fase è arbitraria, essendo arbitraria la posizione dell'asse verticale.
Possiamo inserire la fase (espressa in radianti) nella funzione analitica del segnale sinusoidale:
Nell'esempio seguente abbiamo una sinusoide, non passante per l'origine degli assi.
La funzione corrispondente è:
Per una verifica dei risultati si più calcolare la funzione per t = 0 e confrontare con il grafico:
v(0) = 2 · sin (π/4) = 1.41 V
Lo spettro del segnale, nella versione semplificata descritta in questa pagina, perde le informazioni relative alla fase.
La rappresentazione nel dominio del tempo e la corrispondente funzione non sono di utilizzo immediato e sono poco utili all'intuito.
Una rappresentazione vettoriale di una sinusoide mette in evidenza la fase e l'ampiezza attraverso la rappresentazione cartesiana di un vettore:
Il legame tra le lunghezze dei segmenti e gli angoli può essere trovato con semplici formule trigonometriche oppure con il teorema di Pitagora.
La contropartita di questa rappresentazione è la perdita dell'informazioni relativa alla frequenza, che deve essere fornita separatamente (se necessario).
Il grafico seguente riporta in rosso la rappresentazione vettoriale di una sinusoide con:
A volte sugli assi di questa rappresentazione non sono indicate le unità di misura: si tratta di una scelta formalmente non corretta, ma a volte tollerata.
Data di creazione di questa pagina: aprile 2020
Ultima modifica: 24 novembre 2023
Appunti scolastici - Versione 0.1022 - ottobre 2023
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