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Regime variabile → Segnale sinusoidale
Il segnale sinusoidale assume un'importanza fondamentale in molti aspetti
dell'analisi dei segnali elettrici variabili.
In questa pagina verranno
mostrati alcuni modi per descrivere tale segnale; verranno usate soprattutto
rappresentazioni grafiche perché più utili in ambito applicativo e perché mascherano aspetti matematici anche molto avanzati,
quali i numeri
complessi o le
serie di Fourier, in genere affrontati nei corsi di matematica solo in
anni successivi (o non affrontati affatto...).
Un segnale sinusoidale ha diverse rappresentazioni:
Importanza del segnale sinusoidale
Diversi i motivi dell'importanza del segnale sinusoidale:
- In un circuito lineare con un generatore sinusoidale, tutte le tensioni e
tutte le correnti hanno un andamento sinusoidale (nota 4),
con la medesima frequenza, semplificando notevolmente lo studio del
circuito. Questa caratteristica non
vale per altri segnali. Per esempio i seguenti tre grafici mostrano tensione
e corrente in un circuito RLC con generatore di tensione, rispettivamente, di forma
triangolare, sinusoidale e quadro.
- L'analisi con i circuiti lineari è (relativamente) semplice se si
utilizza il metodo
simbolico.
- La tensione sinusoidale è quella più facile da generare e da gestire
negli impianti industriali e civili, perlomeno con le tecnologie che si
sono diffuse nel secolo passato ed oggi ancora utilizzate
- Un generico segnale periodico è scomponibile nella somma di più segnali
sinusoidali, attraverso le
serie di Fourier.
Questo aspetto è fondamentale in molti ambiti, a partire dai sistemi di
telecomunicazioni
L'ultimo aspetto è quello concettualmente più importante nel contesto in
cui queste pagine sono state scritte.
Segnale sinusoidale nel dominio del tempo
Un segnale sinusoidale è caratterizzato nel tempo da un andamento simile
alla funzione y(x)=sin(x). La variabile indipendente x è
costituita dal tempo, sempre indicato con la lettera minuscola t
(normalmente moltiplicato per una costante e sommato ad un'altra costante);
la variabile dipendente y è costituita da una tensione oppure, più
raramente, da una corrente, anch'esse indicate con lettere minuscole,
tipicamente v o i.
Come esempio consideriamo un segnale sinusoidale con:
- un'ampiezza massima di circa 2,35 V
- una frequenza di 20 kHz
- il primo passaggio per lo zero per t = 8 µs
La sua rappresentazione grafica (nel dominio del
tempo) è la seguente;
La sua funzione analitica è la seguente:
Purtroppo nessuna delle due rappresentazioni è di immediata comprensione,
anche perché ciascuno
degli elementi che descrivono l'andamento sinusoidale è esprimibile in
svariati modi:
- L'ampiezza verticale, che può essere descritta attraverso:
- Il valore massimo ed il valore minimo, uguali tra di loro in modulo; nell'esempio sono pari
rispettivamente a circa +2.35 V e -2.35 V. Spesso tale
valore è indicato come tensione di picco VP o
anche VPK.
- Il valore picco-picco (Vpp) pari all'escursione massima del segnale,
cioè alla differenza tra i due valori precedenti; nell'esempio è
circa 4.7 V
- Il valore efficace o RMS (Root Mean Square) può essere calcolato dividendo la tensione
di picco per la radice quadrata di due (nota 2). Nell'esempio
VRMS = 2.35 / 1.41 = 1.67 V
- (Il valor medio è sempre nullo nei segnali sinusoidali)
- La durata del ciclo entro cui il segnale si ripete sempre uguale a
sé stesso può essere descritto attraverso:
- Il periodo, sempre indicato con la lettera maiuscola T,
indica, in secondi, l'intervallo di tempo nel quale il segnale si
ripete. Nell'esempio: T = 50 µs
- La frequenza, sempre indicata con la lettera
minuscola f, è definita come il numero di cicli
presenti in un secondo; è l'inverso del periodo. Nell'esempio
vale: f = 1 / T = 20 kHz
- La pulsazione, indicata con
la lettera dell'alfabeto greco ω, è definita come: ω = 2·π·f
e l'unità di misura è il radiante al secondo (rad/s);
nell'esempio vale: ω = 6.28 · 20 · 103 = 126 krad/s
- Il fatto che la sinusoide sia spostata verso destra o sinistra
rispetto all'origine degli assi (nota 3) può
essere descritto attraverso:
- Il valore iniziale della tensione, all'istante t = 0;
nell'esempio è circa v(0) = -2 V
- Il tempo tD, misurato in secondi
rispetto all'asse verticale, con cui il segnale attraversa l'asse
orizzontale in modo crescente. Nell'esempio
vale circa 8 µs (nota 5)
- La fase, indicata con
la lettera dell'alfabeto greco φ, misura il ritardo di "inizio della
sinusoide" come angolo, attraverso una proporzione che lega periodo,
ritardo, fase ed angolo giro.
Possiamo utilizzare sia i radianti che i gradi sessagesimali:
- Con la proporzione T : 360° = TD : φ.
Nell'esempio abbiamo 50 : 360 = 8 : φ da cui si ricava che
φ ≈ 58°. Il segno è negativo se, come in questo esempio, la
sinusoide inizia "dopo" l'origine degli assi
- Con la proporzione T : 2π = TD : φ.
Nell'esempio abbiamo 50 : 6.28 = 8 : φ
da cui si ricava
che φ ≈ π/3 rad (anche in questo caso il segno è negativo)
In ambito tecnico si preferisce fare riferimento a tensione efficace VRMS, espressa in volt,
frequenza, espressa in
hertz, e fase, espressa in gradi.
Esempio
Disegnare il grafico di una tensione sinusoidale con ampiezza efficace VRMS = 5 V,
frequenza f = 10 kHz e fase φ = 0°. Scrivere la funzione
corrispondente.
Il segnale è sinusoidale e quindi dalla tensione efficace possiamo immediatamente ricavare che la
tensione massima è circa 7 V e la tensione minima circa - 7 V. Inoltre il
periodo è 0,1 ms = 100 µs. La fase è nulla e quindi la
sinusoide passa per l'origine (nota 3). Il grafico è il seguente:
La pulsazione è ω = 6,28·104
rad/s. La funzione che descrive tale curva è quindi:
v(t) = 7 · sin(6,28·104 · t)
Segnale sinusoidale: esercizi
Segnale sinusoidale nel dominio della frequenza
La rappresentazione di una sinusoide nel dominio del tempo è
un'astrazione matematica che:
- non è semplice da disegnare, come possiamo scoprire facendo
esercizi
- non è semplice da comprendere dal punto di vista della
funzione analitica, come possiamo scoprire facendo
esercizi
- non rispecchia quello che i nostri sensi percepiscono. Per esempio il "La"
emesso dal diapason
non ci appare come un movimento positivo e negativo con periodo 2,3 ms, ma
un tono con frequenza 440 Hz
- Rende estremamente complesso rappresentare graficamente segnali che
sono somma di sinusoidi. Sfido chiunque
a disegnare la somma di due sinusoidi con frequenza diversa...
Per questo è stata introdotta una rappresentazione grafica più semplice
per disegnare una sinusoide: il dominio della frequenza:
- L'ascissa riporta le frequenze
- L'ordinata riporta l'ampiezza di picco (nota 8)
- Una sinusoide appare come un segmento verticale con lunghezza pari
alla sua ampiezza, che inizia dall'asse orizzontale in
corrispondenza della sua frequenza
Esempio
Una sinusoide con ampiezza di picco 1 V e frequenza 2 kHz può essere
disegnata nel dominio delle frequenze con il seguente grafico:
Tale grafico è chiamato spettro del (valore di
picco) del segnale (nota
7) e la linea verticale linea spettrale.
Nello spettro, così come descritto con questa versione semplificata, non
sono presenti informazioni relative alla fase φ, ma solo al modulo,
Segnale sinusoidale: esercizi
Rappresentazione vettoriale
Lo spettro del segnale, nella versione semplificata descritta in questa
pagina, perde le informazioni relative alla fase.
Una rappresentazione vettoriale di una sinusoide mette in
evidenza la fase e l'ampiezza attraverso la rappresentazione cartesiana di
un vettore:
- La fase φ è l'angolo tra l'asse orizzontale ed il vettore
- L'ampiezza, normalmente la tensione di picco, è il modulo del
vettore (la sua "lunghezza")
- Sui due assi cartesiani è riportata l'ampiezza delle componenti x e
y, anch'esse espresse in volt
Il legame tra le lunghezze dei segmenti e gli angoli può essere trovato
con semplici formule trigonometriche oppure il teorema di Pitagora.
La contropartita di questa rappresentazione è la perdita
dell'informazioni relativa alla frequenza, che deve essere fornita
separatamente (se necessario).
Esempio
Il grafico seguente riporta in rosso la rappresentazione vettoriale di
una sinusoide con:
- ampiezza V = 10,8 V
- fase φ = 33.7°
- Le due componenti x e y hanno ampiezza 9 V e
6 V (se necessario calcolarle)
- frequenza ignota
A volte sugli assi di questa rappresentazione non sono indicate le unità di
misura: si tratta di una scelta formalmente non corretta, ma a volte
tollerata.
Segnale sinusoidale: esercizi
Impedenza
In regime continuo, il legame tra tensione e corrente nei circuiti
lineari è dato dalla legge di
Ohm. La costante di proporzionalità che lega le due grandezze è indicata con il termine
resistenza, misurale in ohm (Ω). In genere la resistenza è
indicata con la lettera R maiuscola.
In regime sinusoidale, il legame tra tensione e corrente nei circuiti
lineari è dato da una estensione della
legge di Ohm. La costante
di proporzionalità
che lega le due grandezza è indicata con il termine impedenza,
misurale anch'essa in ohm (Ω). In genere l'impedenza è indicata
con la lettera Z maiuscola.
L'estensione della legge di Ohm utilizza il metodo
simbolico che, attraverso il formalismo matematico dei numeri complessi,
rende possibile lo studio di reti lineari in regime sinusoidale applicando
tutti i teoremi ed i principi tipici delle regime continuo.
Se siamo interessati solo all'ampiezza della corrente e della
tensione e non alla sua fase
(cioè al solo modulo della corrente e della tensione) possiamo considerare solo il
modulo dell'impedenza, ottenendo un'espressione
coincidente con la legge di Ohm anche nell'uso degli ordinari numeri reali.
Per i tre componenti lineari (resistori, induttori e condensatori), le
seguenti formule permettono di calcolare il modulo dell'impedenza:
Si noti che tali valori NON possono essere utilizzati in
altre formule, quali il calcolo dell'impedenza di componenti in serie e parallelo
oppure nelle equazioni di Kirchhoff. In questi casi è necessario fare
riferimento al metodo
simbolico.
Note
- La definizione rigorosa di questa grandezza va oltre gli scopi di
questi appunti
- Questa relazione vale per le sinusoidi, non per altri segnali
- La fase è convenzionale, essendo arbitrario l'istante in cui
t = 0. In genere viene utilizzato solo per indicare
differenze di fase
(sfasamento) tra
due segnali sinusoidali diversi, ma con la stessa frequenza, come
mostrato nell'esercizio 4
- Tale proprietà NON vale per i circuiti non lineari
- Esistono molti di tali istanti, tutti distanziati tra di loro del
periodo T. Nell'esempio vale circa 8 µs oppure 58 µs oppure -42 µs
- Il modulo di tale angolo può essere ricavato dalla relazione
360 : T = φ : td
oppure 2π : T = φ : td. il
segno è negativo in quanto il segnale è "in ritardo"
- Quello qui descritto è solo una parte dello spettro, quello relativo
al modulo: mancano infatti informazioni relative alla fase
- A volte invece della tensione di picco è
indicata la tensione efficace (occorre specificarlo
esplicitamente!); è possibile anche riportare la
potenza. Tutte queste grandezze possono essere espresse sia in unità
lineari che
unità logaritmiche
Data di creazione di questa pagina: aprile 2020
Ultima modifica: 7 gennaio 2023
