Metodo simbolico

Il metodo simbolico è una tecnica che permette di applicare gli stessi strumenti nati per la soluzione dei circuiti in corrente continua anche a quelli in corrente alternata. Per esempio la formula di Ohm, i  principi di Kirchhoff oppure la definizione di circuito equivalente di Thévenin rimangono formalmente invariati.

Il metodo è applicabile alle seguenti condizioni:

  1. Tutti i generatori presenti sono sinusoidali
  2. Tutti i generatori presenti hanno la stessa frequenza
  3. I componenti passivi presenti sono lineari. Quindi solo resistenze, condensatori e induttori ideali

A queste condizioni (nota 3) si verifica che tutte le tutte le correnti e tutte le tensioni presenti nel circuito sono sinusoidali e con la stessa frequenza.

Rappresentazione di tensioni e correnti nel dominio del tempo

Come già visto una tensione sinusoidale è rappresentata nel dominio del tempo (ovviamente...) da una sinusoide. Qui sotto un esempio di rappresentazione grafica:

Sinusoide nel dominio del tempo

Guardando il grafico, concentriamoci su due soli parametri:

Esercizio 1

I fasori

Una sinusoide può essere immaginata come generata dalla rotazione di un vettore in senso positivo (antiorario), a velocità costante e a partire da una certa posizione. Una rappresentazione grafica animata è disponibile all'indirizzo upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/89/Unfasor.gif.

Questo vettore rotante viene identificato con il termine fasore.

Nel grafico seguente è rappresenta la stessa sinusoide di apertura attraverso un fasore:

Un fasore

Questa rappresentazione può essere facilmente disegnata a partire dalla sinusoide per via grafica, applicando formule trigonometriche oppure tramite il teorema di Pitagora. Analogamente, dato un fasore possiamo facilmente disegnare la sinusoide corrispondente.

Il disegno del fasore non contiene informazioni sulla forma del segnale, che comunque è sempre sinusoidale, né sulla sua frequenza, che deve essere specificata a parte.

Esercizio 2

Rispondere, senza passaggi numerici o formule, alle seguenti domande:

Corrente e tensione

In questo paragrafo è mostrato il legame tra tensione e corrente in resistori, condensatori ed induttori.

Partiamo da un dato sperimentale. Il componente in esame è collegato ad un generatore di tensione sinusoidale, curva verde nei tre prossimi grafici. Sullo stesso grafico è disegnata la corrente con una linea tratteggiata azzurra. In questo momento non siamo interessati alla frequenza, uguale per entrambi i segnali, alla forma, che comunque sappiamo essere sempre sinusoidale, e neppure all'ampiezza.

Resistori

In un resistore tensione e corrente sono in fase tra di loro, cioè entrambe passano per l'asse orizzontale nello stesso istante:

Tensione e corrente in un resistore

Induttori

In un induttore la corrente è in ritardo di 90° rispetto alla tensione, cioè la curva della corrente attraversa l'asse orizzontale dopo la curva della tensione. Questo ritardo è per ad 1/4 del periodo oppure, parlando in termini di angoli, arriva 90° gradi dopo (nota 2):

Tensione e corrente in un induttore

Condensatori

In un condensatore la corrente è in anticipo di 90° rispetto alla tensione:

Tensione e corrente in un condensatore

Fasori

Possiamo rappresentare tensione e corrente con due fasori. Per esempio, nel caso del condensatore, la tensione ha fase zero e la corrente fase +90°:

Tensione e corrente in un condensatore, come fasori

Esercizio 3

Disegnare i fasori per tensione e corrente nel caso dell'induttore e del resistore

I numeri complessi

Per utilizzare nella risoluzione dei circuiti AC gli stessi strumenti usati per la risoluzione dei circuiti DC occorre trasformare:

La scelta è quella di utilizzare i numeri complessi per rappresentare sia l'impedenza dei componenti che i segnali.

Rappresentazione delle tensioni

Una tensione si rappresenta attraverso un numero complesso, osservando l'analogia tra la rappresentazione grafica di un fasore e quella di un numero complesso:

La sinusoide disegnata all'inizio di questa pagina nel dominio del tempo si esprime quindi con il numero complesso:

 V = 6 + 3.5j [V]

Rappresentazione delle correnti

Le correnti si rappresentano in modo assolutamente analogo alle tensioni.

Rappresentazione delle impedenze

L'equivalente della resistenza in regime sinusoidale è detta impedenza. Essa può essere calcolata con la legge di Ohm, dopo aver rappresentato tensione e corrente con un numero complesso.

Per esempio, consideriamo il condensatore a cui si riferisce il grafico sinusoidale appena mostrato ed il corrispondente fasore. Calcoliamo l'impedenza:

Impedenza: un esempio

Due osservazioni:

 Modulo dell'impedenza

Più in generale, le impedenze di condensatori, induttori e resistori sono espresse con le seguenti formule:

Le impedenze dei componenti lineari passivi

Disegnando tali impedenze come vettori si osserva che:

Componenti in serie ed in parallelo

L'uso di numeri complessi per rappresentare le impedenze rende possibile applicare le formule già viste per i resistori in serie e in parallelo.

Esempio 1

Trovare l'impedenza complessiva dei tre seguenti componenti in serie alla frequenza di 20 kHz

RLC in serie

Occorre trovare le impedenze dei tre componenti, usando le formule proposte, e sommarle:

RLC in serie: calcolo

Esempio 2

Trovare la corrente nel seguente circuito:

Corrente in un circuito RLC

Corrente in un circuito RLS: calcolo

La corrente è quindi sinusoidale (non servono calcoli per saperlo!), con frequenza 20 kHz (non servono calcoli per saperlo!), leggermente in ritardo rispetto alla tensione (fase negativa), con ampiezza di poco meno di 1 mA. Possiamo rappresentarla insieme alla tensione del generatore sia nel dominio del tempo che come fasore:

Soluzione RLC nel dominio del tempo

Soluzione RLC come fasori

Esercizio 4

Con gli stessi dati degli esempi precedenti, trovare l'impedenza dei tre componenti RLC quando la frequenza è 200 kHz. Trovare la corrente nel circuito

Esempio 3

Trovare l'impedenza dei due componenti RC in parallelo. Trovare la corrente erogata dal generatore.

RC in paralelo

RC in parallelo: la soluzione

I grafici seguenti sono ottenuti con un simulatore confermano i risultati precedenti:

Esempio 3 - AC Sweep

Esercizio 5

Con gli stessi dati degli esempi precedenti, trovare l'impedenza dei tre componenti RLC in parallelo. Trovare la corrente erogata dal generatore

Esempio 4

Quanto vale l'impedenza del seguente circuito? Quanto vale la corrente?

RLC in risunanza: circuito

Calcoliamo le impedenze e la corrente:

RLC in risunanza: soluzione

La condizione per cui si annulla la parte immaginaria dell'impedenza (o della corrente) è chiamata condizione di risonanza.

Note

  1. Il fasore può essere disegnato, al contrario di come qui mostrato, usando il valore efficace anziché quello di picco. Nulla, cambia, ma il passaggio al grafico è meno immediato
  2. Qualcuno potrebbe anche pensare che una sinusoide in ritardo di 90° sia in realtà in anticipo di 270°. Non è un concetto errato, ma si preferisce sempre utilizzare la prima forma
  3. In realtà le condizioni (1) e (2) possono essere superate osservando che in un circuito lineare vale il principio di sovrapposizione degli effetti e che il teorema di Fourier permette di scomporre qualunque segnale in una somma di sinusoidi.
  4. Questa affermazione è vera solo per i condensatori reali. I condensatori reali hanno un comportamento che si discosta anche significativamente da ciò


Data di creazione di questa pagina: dicembre 2012
Ultima modifica: 25 maggio 2020


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