Gustav Robert Georg Kirchhoff è stato un fisico prussiano del diciannovesimo secolo. In questa pagina sono descritte le due leggi che portano il suo nome, note come equazioni alle maglie ed equazioni ai nodi:
La somma algebrica delle tensioni lungo una maglia è pari a zero. Il verso di percorrenza della maglia è arbitrario come pure il punto di inizio. Le tensioni ai capi dei componenti che si attraversano percorrendo la maglia vanno sommate se concordi al verso di percorrenza, sottratte se discordi.
La somma algebrica delle correnti in un nodo è pari a zero (forma alternativa: la somma delle correnti entranti in un nodo è pari alla somma delle correnti uscenti).
Tali leggi valgono per qualunque circuito in corrente continua (nota 2).
Consideriamo il seguente circuito, costituito da sei resistori e due generatori:
Per scrivere le equazioni di Kirchhoff occorre preliminarmente disegnare sullo schema le tensioni e le correnti presenti nel circuito e dare loro un nome, seguendo nell'ordine i seguenti passi:
Il risultato potrebbe essere simile al seguente, dove in blu abbiamo le tensioni ed in verde le correnti:
A questo punto possiamo scrivere le equazioni ai nodi e alle maglie.
Nel circuito abbiamo quattro nodi. Scriviamo le equazioni ai nodi:
Nel circuito abbiamo molte maglie, forse sette (è inutile contarle...). Scriviamo le equazioni alle maglie:
In questo esempio useremo le equazioni di Kirchhoff per risolvere (nota 6) un circuito, peraltro facilmente risolvibile anche applicando la legge di Ohm e poco più.
Troviamo nel seguente circuito la corrente e le due tensioni V1 e V2 ai capi di R1 ed R2
I dati: R1 = R2 = 1 kΩ; Va = 10 V
Come operazione preliminare occorre fare le stesse operazioni descritte nel precedente esempio:
Il circuito ottenuto è di seguito mostrato, con le tensioni indicate in azzurro e la corrente in verde. Per i nomi consiglio di fare scelte semplici e con cui è facile individuare errori, per esempio indicando la tensione con un nome che richiama quello del componente al quale si riferisce (per esempio V1 ai capi di R1).
Possiamo scrivere l'equazione all'unica maglia. Occorre individuare un percorso, partendo da un punto arbitrario; muovendosi in un verso anch'esso arbitrario si sommano le tensioni incontrate se concordi al verso di percorrenza, si sottraggono se discordi. In questo esempio si è scelto come punto di partenza quello intermedio tra R1 e Va e come verso di percorrenza quello orario (nota 1):
Possiamo quindi sostituire V1 e V2 con quanto ricavabile con la legge di Ohm (nota 3) e ricavare la corrente I:
Possiamo infine utilizzare la legge di Ohm, applicata ai due resistori, e trovare V1 = V2 = 5 V.
L'obbiettivo è trovare la tensione tra i due morsetti AB.
Siamo in presenza di un percorso aperto tra i due morsetti A e B, ma l'equazione alle maglie si scrive con gli stessi criteri sopra esposti.
Disegnare sullo schema le tensioni e l'unica corrente, uscente dal polo positivo del generatore (in questo caso nulla), rispettando per i versi la convenzione di generatori e utilizzatori:
Vediamo immediatamente che la corrente è nulla (il circuito è infatti aperto). Scriviamo quindi l'equazione alla maglia e risolviamo:
Questo esempio sembra mettere in difficoltà il principio di Kirchhoff alle maglie.
Se scriviamo l'equazione alla maglia otteniamo infatti 3.3 V = 0, cosa evidentemente non possibile.
Questa apparente contraddizione viene meno consideranto che non esistono generatori ideali, ma solo generatori reali, caratterizzati da una resistenza in serie, "dimenticata" nello schema.
Consideriamo una porta logica a cui sono collegati un LED ed una resistenza. L'ingresso della porta logica è basso (L, zero logico), quindi l'uscita è alta (H, uno logico). Di seguito lo schema:
Come viene fatto normalmente, non è messo in evidenza alcun generatore di tensione anche se, per il funzionamento della porta logica, è richiesto il collegamento a Vcc e GND.
Possiamo individuare le seguenti maglie comprendente R ed il LED:
In genere si preferisce evidenziare la maglia come nella seconda figura, includendo anche la tensione tra massa e l'uscita della porta..
Disegniamo le tensioni e la corrente, facendo l'ipotesi che il LED sia acceso, cioè attraversato da corrente. Potrebbe sorgere qualche dubbio in merito al verso di VOH (Voltage Output High, tensione di uscita per il livello logico alto, misurata tra massa e l'uscita della porta): una porta logica è infatti un circuito complesso, difficile da classificare come generatore o utilizzatore. Nel dubbio è sempre possibile mettere un verso arbitrario e verificare al temine dell'analisi di avere "indovinato".
L'equazione alla maglia corrispondente è:
VOH - VR - Vled = 0
oppure, applicando la legge di Ohm:
VOH - I·R - Vled = 0
Conoscendo tre di questi valori, è possibile ricavare il quarto. Tali valori possono essere letti sui fogli tecnici, misurati in laboratorio (nota 4), ipotizzati conoscendo la natura dei componenti...
Vediamo un esempio: vogliamo accendere il LED rosso con una corrente di 20 mA. La porta logica è alimentata a 4,5 V. Quale resistenza occorre scegliere?
Quesiti:
Consideriamo una porta logica a cui sono collegati un LED ed una resistenza. L'ingresso della porta logica è alto (H, uno logico), quindi l'uscita è bassa (L, zero logico). Di seguito lo schema:
Spesso il circuito è disegnato diversamente, ma il significato rimane lo stesso:
Individuiamo una maglia:
Disegniamo le tensioni e la corrente. Attenzione al verso della corrente: deve "entrare dall'uscita" della porta logica...
VOL (Voltage Output Low, tensione di uscita per il livello logico basso) indica la tensione di uscita della porta logica quando l'uscita è bassa (e quindi l'ingresso è alto).
L'equazione alla maglia di uscita:
VOL + VR + VLED - VCC = 0
Data di creazione di questa pagina: novembre 2019
Ultima modifica: 10 luglio 2024
Appunti scolastici - Versione 0.1025 - Maggio 2024
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