Principi di Kirchhoff

Gustav Robert Kirchhoff

Gustav Robert Georg Kirchhoff è stato un fisico prussiano del diciannovesimo secolo. In questa pagina sono descritte le due leggi che portano il suo nome, note come equazioni alle maglie ed equazioni ai nodi:

Tali leggi sono assolutamente generali e valgono per qualunque circuito (nota 2).

Esempio 1

Consideriamo il seguente circuito, costituito da sei resistori e due generatori:

Per scrivere le equazioni di Kirchhoff occorre preliminarmente disegnare sullo schema le tensioni e le correnti presenti nel circuito e dare loro un nome, seguendo nell'ordine i seguenti passi:

  1. Disegnare sullo schema le tensioni ai capi dei generatori di tensione, rispettando il verso presente nello schema stesso (freccia della tensione dal - al +); In questo esempio abbiamo Va e Vb: visti i segni, dovremo disegnare entrambe le freccie dirette verso l'alto.
  2. Disegnare le correnti dei generatori, rispettando per i versi la convenzione dei generatori (frecce di tensione e corrente concordi); in questo esempio abbiamo due correnti nei due generatori disegnate anch'esse dirette verso l'alto, cioè uscenti dal + dei generatori ed entranti dal -. Possiamo chiamare queste correnti I5b (attraversa sia R5 che Vb) e I6a (attraversa sia R6 che Va).
  3. Disegnare le correnti in tutti i rimanenti rami, scegliendo il verso in modo arbitrario. Per esempio possiamo scegliere che la corrente in R4 sia diretta verso sinistra ed abbia nome I4 (nota 5). Per queste scelte non esistono regole da rispettare, neppure di buon senso, ma una volta fatte non devono più essere modificate!
  4. Disegnare il verso delle tensioni ai capi di tutti gli utilizzatori, rispettando la convenzione degli utilizzatori (frecce di tensione e corrente discordi). Per esempio la tensione ai capi di R4 è diretta verso destra e la possiamo chiamare V4.

Il risultato potrebbe essere simile al seguente, dove in blu abbiamo le tensioni ed in verde le correnti:

A questo punto possiamo scrivere le equazioni ai nodi e alle maglie.

Nel circuito abbiamo quattro nodi. Scriviamo le equazioni ai nodi:

Nel circuito abbiamo molte maglie, forse sette (è inutile contarle...). Scriviamo le equazioni alle maglie:

Esempio 2

In questo esempio useremo le equazioni di Kirchhoff per risolvere (nota 6) un circuito, peraltro facilmente risolvibile anche applicando la legge di Ohm e poco più.

Troviamo nel seguente circuito la corrente e le due tensioni V1 e V2 ai capi di R1 ed R2

 Esercizio 1

I dati: R1 = R2 = 1 kΩ; Va = 10 V

Come operazione preliminare occorre fare le stesse operazioni descritte nel precedente esempio:

  1. Disegnare sullo schema le tensioni ai capi dei generatori, rispettando il verso presente nello schema stesso (freccia della tensione dal - al +); In questo caso abbiamo solo Va: disegniamo quindi la freccia, diretta verso l'alto
  2. Disegnare le correnti dei generatori, rispettando per i versi la convenzione dei generatori; in questo caso abbiamo solo I, comune a tutti i componenti, disegnata anch'essa diretta verso l'alto, cioè uscente dal +
  3. In questo esempio non abbiamo altre correnti
  4. Disegnare il verso delle tensioni V1 e V2 ai capi di tutti gli utilizzatori R1 e R2, rispettando la convenzione degli utilizzatori.

Il circuito ottenuto è di seguito mostrato, con le tensioni indicate in azzurro e la corrente in verde. Per i nomi consiglio di fare scelte semplici e con cui è facile individuare errori, per esempio indicando la tensione con un nome che richiama quello del componente al quale si riferisce (per esempio V1 ai capi di R1).

Esempio 1

Possiamo scrivere l'equazione all'unica maglia. Occorre individuare un percorso, partendo da un punto arbitrario; muovendosi in un verso anch'esso arbitrario si sommano le tensioni incontrate se concordi al verso di percorrenza, si sottraggono se discordi. In questo esempio si è scelto come punto di partenza quello intermedio tra R1 e Va e come verso di percorrenza quello orario (nota 1):

Equazione alla maglia

Possiamo quindi sostituire V1 e V2 con quanto ricavabile con la legge di Ohm (nota 3) e ricavare la corrente I:

Esercisio 1: soluzone

Possiamo infine utilizzare la legge di Ohm, applicata ai due resistori, e trovare V1 = V2 = 5 V.

Esempio 3

L'obbiettivo è trovare la tensione tra i due morsetti AB.

Esempio 2 - Circuito aperto

Siamo in presenza di un percorso aperto tra i due morsetti A e B, ma l'equazione alle maglie si scrive con gli stessi criteri sopra esposti.

Maglia aperta

Disegnare sullo schema le tensioni e l'unica corrente, uscente dal polo positivo del generatore (in questo caso nulla), rispettando per i versi la convenzione di generatori e utilizzatori:

Esempio 2

Vediamo immediatamente che la corrente è nulla (il circuito è infatti aperto). Scriviamo quindi l'equazione alla maglia e risolviamo:

Esercizio 2 - soluzione

Esempio 4

Questo esempio sembra mettere in difficoltà il principio di Kirchhoff alle maglie.

Esempio 4: cortocircuito

Se scriviamo l'equazione alla maglia otteniamo infatti 3.3 V = 0, cosa evidentemente non possibile.

Questa apparente contraddizione viene meno consideranto che non esistono generatori ideali, ma solo generatori reali, caratterizzati da una resistenza in serie, "dimenticata" nello schema.

Esempio 5

Consideriamo una porta logica a cui sono collegati un LED ed una resistenza. L'ingresso della porta logica è basso (L, zero logico), quindi l'uscita è alta (H, uno logico). Di seguito lo schema:

Porta NOT e LED 

Come viene fatto normalmente, non è messo in evidenza alcun generatore di tensione anche se, per il funzionamento della porta logica, è richiesto il collegamento a Vcc e GND.

Possiamo individuare le seguenti maglie comprendente R ed il LED:

Prima maglia

Seconda maglia

In genere si preferisce evidenziare la maglia come nella seconda figura, includendo anche la tensione tra massa e l'uscita della porta..

Disegniamo le tensioni e la corrente, facendo l'ipotesi che il LED sia acceso, cioè attraversato da corrente. Potrebbe sorgere qualche dubbio in merito al verso di VOH (Voltage Output High, tensione di uscita per il livello logico alto, misurata tra massa e l'uscita della porta): una porta logica è infatti un circuito complesso, difficile da classificare come generatore o utilizzatore. Nel dubbio è sempre possibile mettere un verso arbitrario e verificare al temine dell'analisi di avere "indovinato".

Porta NOT e LED

 L'equazione alla maglia corrispondente è:

VOH - VR - Vled = 0

oppure, applicando la legge di Ohm:

VOH - I·R - Vled = 0

Conoscendo tre di questi valori, è possibile ricavare il quarto. Tali valori possono essere letti sui fogli tecnici, misurati in laboratorio (nota 4), ipotizzati conoscendo la natura dei componenti...

Vediamo un esempio: vogliamo accendere il LED rosso con una corrente di 20 mA. La porta logica è alimentata a 4,5 V. Quale resistenza occorre scegliere?

Curva VI di un LED

Quesiti:

  1. Quale resistenza usare per avere una corrente di 10 mA?
  2. Quale resistenza usare con un LED bianco e 20 mA di corrente?
  3. Quale resistenza usare con un LED bianco e 25 mA di corrente? (Attenzione!)

Esempio 6

Consideriamo una porta logica a cui sono collegati un LED ed una resistenza. L'ingresso della porta logica è alto (H, uno logico), quindi l'uscita è bassa (L, zero logico). Di seguito lo schema:

Porta NOT e LED

Spesso il circuito è disegnato diversamente, ma il significato rimane lo stesso:

Porta NOT e LED

Individuiamo una maglia:

Terza maglia

Disegniamo le tensioni e la corrente. Attenzione al verso della corrente: deve "entrare dall'uscita" della porta logica...

VOL (Voltage Output Low, tensione di uscita per il livello logico basso) indica la tensione di uscita della porta logica quando l'uscita è bassa (e quindi l'ingresso è alto).

L'equazione alla maglia di uscita:

VOL + VR + VLED - VCC = 0

Note

  1. Scelte diverse portano ad equazioni diverse, ma ad un'identica soluzione
  2. Per la precisione, sono valide per i circuiti a parametri concentrati. In questi circuito la dimensione fisica dei componenti è trascurabile rispetto alla lunghezza d'onda della tensione. In genere possono essere considerate una semplificazione delle equazioni di Maxwell utile per tutti i circuiti che non irraggiano energia elettromagnetica
  3. In presenza di utilizzatori diversi da resistori occorre applicare l'equazione che lega per tale bipolo corrente e tensione, spesso un'equazione esponenziale o di terzo grado. Ovviamente, pur nella semplicità concettuale, tale operazione è agevole solo usando un computer
  4. Confrontare con le prove di laboratorio descritte alla pagina Principi di Kirchhoff: laboratorio
  5. La scelta opposta sarebbe stata comunque corretta... Basta non cambiare idea!
  6. Risolvere un circuito significa trovare il valore di tutte le correnti e tutte le tensioni


Data di creazione di questa pagina: novembre 2019
Ultima modifica: 6 ottobre 2023


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