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Regime variabile → Segnali variabili
Un segnale che varia nel tempo viene in genere descritto da un grafico che
riporta in ascissa il tempo ed in ordinata la tensione oppure la corrente.
Segnali variabili generici
Il segnale seguente mostra una tensione che, in modo
apparentemente casuale, assume istante per istante valori compresi tra -20 V e +15 V.
Le misure significative per un simile segnale sono:
- Il valore massimo ed il valore minimo, nell'esempio precedente pari
rispettivamente a circa +15 V e -20 V
- Il valore picco-picco (Vpp) pari all'escursione massima del segnale,
cioè alla differenza tra i due valori precedenti, nell'esempio è pari a
circa 35V
- Il valor medio, difficile in questo caso da calcolare (nota 1)
- Il valore efficace, difficile in questo caso da calcolare (nota 1)
- La banda, difficile in questo caso da calcolare (nota 1)
La banda si misura in hertz. Per tutte le altre grandezza l'unità di misura è
il volt (o, in altri casi, l'ampere) e quindi occorre specificare quale
grandezza intendiamo misurare.
Come caso particolare si definisce unipolare un segnale in cui
la tensione (o la corrente ) è in ogni istante sempre positiva (oppure
sempre negativa). In caso contrario il segnale è detto bipolare.
Segnale periodico
Un segnale si dice periodico quando si ripete regolarmente nel tempo. Per
esempio il segnale seguente si ripete ogni millesimo di secondo.
Le misure significative sono le stesse descritte nel
paragrafo precedente a cui si aggiunge:
- Il periodo (T), cioè il tempo di ripetizione del segnale, misurato
in secondi. Nell'esempio è 1 ms.
- La frequenza (f), pari all'inverso del periodo, misurata in hertz.
Nell'esempio è 1 kHz.
Nell'esempio mostrato si tratta di un segnale triangolare unipolare,
in evidente riferimento alla forma ed al fatto che in ogni istante la
tensione è positiva.
Segnale sinusoidale
Un segnale sinusoidale è, ovviamente, caratterizzato da un andamento simile
alla funzione seno; di seguito un grafico esemplificativo in cui è
possibile individuare un'ampiezza verticale, una "larghezza
temporale" in cui il segnale si ripete ed
una "traslazione orizzontale" rispetto all'origine degli assi.
La funzione analitica corrispondente è caratterizzata dai tre parametri:
tensione di picco (VP),
pulsazione (la lettera greca ω) e fase (la lettera greca φ):
Purtroppo ciascuno
degli elementi che descrivono l'andamento sinusoidale è esprimibile in
svariati modi:
- L'ampiezza verticale, che può essere descritta attraverso:
- Il valore massimo ed il valore minimo, uguali tra di loro in modulo; nell'esempio
sopra disegnato sono pari
rispettivamente a circa +2.35 V e -2.35 V. In genere tale
valore è semplicemente indicato come tensione di picco VP o
anche VPK.
- Il valore picco-picco (Vpp) pari all'escursione massima del segnale,
cioè alla differenza tra i due valori precedenti; nell'esempio è
circa 4.7 V
- Il valore efficace o RMS (Root Mean Square) può essere calcolato dividendo la tensione
di picco per la radice di due (nota 2). Nell'esempio
VRMS = 2.35 / 1.41 = 1.67 V
- (Il valor medio è sempre nullo nei segnali sinusoidali)
- L'intervallo di ripetizione del segnale, che può essere descritto
in vari modo:
- Il segnale di esempio si ripete ogni 50 µs e questo è il
periodo T. Esso è l'inverso della frequenza
- La frequenza f è definita come il numero di cicli
presenti in un secondo; è l'inverso del periodo. Nell'esempio
vale: f = 1 / T = 20 kHz
- La pulsazione ω è definita come: ω = 2 π f
e l'unità di misura è il radiante al secondo (rad/s);
nell'esempio vale: ω = 6.28 · 20 · 103 = 126 krad/s
- La traslazione orizzontale, cioè il fatto che la sinusoide passi o
meno per l'origine degli assi (nota 3); può
essere descritta attraverso:
- Il valore della tensione all'istante t = 0;
nell'esempio è circa V(0) = -2 V
- L'istante temporale in cui il segnale attraversa l'asse
orizzontale in modo crescente: possiamo chiamarlo l'istante di
"inizio della sinusoide". Nell'esempio
vale circa 8 µs, a volte indicato come tempo di ritardo td
(nota 5)
- L'angolo φ (fase) ottenuto ponendo t = 0 nella
funzione analitica sopra riportata: v(0) = VP · sin(φ) → φ = arcsin(v(0) /VP). Tale
definizione, invero un po' oscura, potrebbe essere più chiara
osservando il grafico del fasore (nota
6). In
riferimento al segnale di esempio, la fase vale circa -60° oppure
-1,05 radianti (-π/3)
- La fase φ tra due segnali può essere pensata come rapporto tra
il ritardo e la durata del periodo, entrambi misurati come angolo e
facendo uso della proporzione T : 360° = TD : φ;
nell'esempio diventa 50 : 360 = 8 : φ; si ricava
quindi che φ ≈ 58°
In ambito tecnico si preferisce fare riferimento a tensione efficace VRMS, espressa in volt,
frequenza, espressa in
hertz, e fase, espressa in gradi.
Esempio 2
Disegnare il grafico di una tensione sinusoidale con ampiezza efficace VRMS = 5 V,
frequenza f = 10 kHz e fase φ = 0°. Scrivere la funzione
corrispondente.
Il segnale è sinusoidale e quindi dalla tensione efficace possiamo immediatamente ricavare che la
tensione massima è circa 7 V e la tensione minima circa - 7 V. Inoltre il
periodo è 0,1 ms = 100 µs. La fase è nulla e quindi la
sinusoide passa per l'origine (nota 3). Il grafico è il seguente:
La pulsazione è ω=6,28·104
rad/s.
La funzione che descrive tale curva è:
v(t) = 7 · sin(6,28·104 · t)
Esercizio 3, parzialmente svolto
Si consideri la seguente sinusoide:
- Determinare Vpp, Vp, VRMS, f e T, con le
rispettive unità di misura
- [Avanzato] Determinare ω e φ (nota 3), con le
rispettive unità di misura. Per la fase utilizzare sia i rad/s che i
gradi.
- Scrivere la funzione corrispondente:
v(t) = 5 · sin(324·103 · t
+ 0,52)
Esercizio 4
Disegnare il grafico e scrivere la funzione della seguente sinusoide:
- VRMS = 10V
- f = 10kHz
- φ = 90° (nota 3)
Esercizio 5, parzialmente svolto
Date le seguenti due sinusoidi:
- calcolare la tensione efficace della "sinusoide verde"
- calcolare la tensione efficace della "sinusoide rossa"
- calcolare la loro frequenza
- calcolare la differenza di fase (o semplicemente fase oppure
sfasamento)
Relativamente all'ultimo punto, possiamo applicare la
formula:
0,2 / 360° = 0,02 / φ → φ = 0,02 · 360 / 0,2
possiamo leggere sul grafico che il
periodo è di circa 0,2 ms e che tra le due sinusoidi è presente un ritardo
di circa 0,02 ms, cioè di circa un decimo del periodo. La
fase è quindi circa 36° (cioè un decimo dell'angolo giro).
Importanza del segnale sinusoidale
Nell'analisi dei circuiti in regime variabile assume un ruolo
fondamentale l'uso dei segnale sinusoidale. Diversi i motivi:
- In un circuito lineare con un generatore sinusoidale, tutte le tensioni e
tutte le correnti hanno un andamento sinusoidale (nota 4),
con la medesima frequenza. Questa caratteristica non
vale per altri segnali. Per esempio i seguenti tre grafici mostrano tensione
e corrente in un circuito RLC con generatore, rispettivamente, di forma
d'onda triangolare, sinusoidale e quadro.
- L'analisi con i circuiti lineari è (relativamente) semplice se si
utilizza il metodo
simbolico.
- Un generico segnale periodico è scomponibile nella somma di più segnali
sinusoidali, attraverso le
serie di Fourier. Applicando il principio di
sovrapposizione degli effetti, è
quindi possibile utilizzare l'analisi fatta con segnali sinusoidali per
qualunque tipo di segnali
- La tensione sinusoidale è quella più facile da generare e da gestire
negli impianti industriali e civili, perlomeno con le tecnologie che si
sono diffuse nel secolo passato
Impedenza
In regime continuo, il legame tra tensione e corrente nei circuiti
lineari è dato dalla legge di
Ohm. La costante di proporzionalità che lega le due grandezze è indicata con il termine
resistenza, misurale in ohm (Ω). In genere la resistenza è
indicata con la lettera R maiuscola.
In regime sinusoidale, il legame tra tensione e corrente nei circuiti
lineari è dato da una estensione della
legge di Ohm. La costante
di proporzionalità
che lega le due grandezza è indicata con il termine impedenza,
misurale anch'essa in ohm (Ω). In genere l'impedenza è indicata
con la lettera Z maiuscola.
L'estensione della legge di Ohm utilizza il metodo
simbolico che, attraverso il formalismo matematico dei numeri complessi,
rende possibile lo studio di reti lineari in regime sinusoidale applicando
tutti i teoremi ed i principi tipici delle regime continuo.
Se siamo interessati solo all'ampiezza della corrente e della
tensione e non alla sua fase
(cioè al solo modulo della corrente e della tensione) possiamo considerare solo il
modulo dell'impedenza, ottenendo un'espressione
coincidente con la legge di Ohm anche nell'uso degli ordinari numeri reali.
Per i tre componenti lineari (resistori, induttori e condensatori), le
seguenti formule permettono di calcolare il modulo dell'impedenza:
Si noti che tali valori NON possono essere utilizzati in
altre formule, quali il calcolo dell'impedenza di componenti in serie e parallelo
oppure nelle equazioni di Kirchhoff. In questi casi è necessario fare
riferimento al metodo
simbolico.
Note
- La definizione rigorosa di questa grandezza va oltre gli scopi di
questi appunti
- Questa relazione vale per le sinusoidi, non per altri segnali
- La fase è convenzionale, essendo arbitrario l'istante in cui
t = 0. In genere viene utilizzato solo per indicare
differenze di fase
(sfasamento) tra
due segnali sinusoidali diversi, ma con la stessa frequenza, come
mostrato nell'esempio 5
- Tale proprietà NON vale per i circuiti non lineari
- Esistono molti di tali istanti, tutti distanziati tra di loro del
periodo T. Nell'esempio vale circa 8 µs oppure 58 µs oppure -42 µs.
In genere si preferisce il primo perché più piccolo in modulo
- Il modulo di tale angolo può essere ricavato dalla relazione
360 : T = φ : td
oppure 2π : T = φ : td. il
segno è negativo in quanto il segnale è "in ritardo"
Data di creazione di questa pagina: aprile 2020
Ultima modifica: 7 gennaio 2023
