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Regime variabile → Onda rettangolare

Al solito: l'immagine di apertura non c'entra nulla con il contenuto della
pagina. E sono alla ricerca di qualcosa di meglio.
Segnale rettangolare
Il segnale rettangolare (o anche
onda rettangolare) è un segnale periodico caratterizzato da
due livelli di tensione (High e Low). Il passaggio tra i
due livelli è molto rapido, idealmente istantaneo.
Il segnale rettangolare è di particolare importanza perché permette di
rappresentare due tipi di segnali importanti a livello applicativo:
Esempio 1
Il grafico seguente mostra nel dominio del tempo un esempio di segnale
rettangolare ideale:

Le sue caratteristiche:
T |
Period o Cycle Time (periodo) |
100 µs
|
TON, TH |
High Pulse Width o semplicemente Width (durata
dell'impulso alto ) |
20 µs |
TOFF, TL |
Low Pulse Width (durata dell'impulso basso) |
80 µs |
VON, VH |
High level (livello alto) |
2 V |
VOFF. VL |
Low level (livello basso) |
-1 V |
Spesso vengono indicate anche altre caratteristiche, derivate dalle
precedenti
f |
Frequency (frequenza) |
1 / T |
10 kHz |
DC |
Duty Cycle o semplicemente Duty (ciclo utile) |
TON / T · 100 |
20 % |
Esempio 2
Nel mondo reale un segnale ad onda rettangolare nel dominio del tempo può ad
esempio essere rappresentato su un oscilloscopio con l'immagine seguente:

Nella parte bassa dell'immagine alcune misure fatte automaticamente dallo
strumento.
Onda quadra
Un caso particolare di onda rettangolare è l'onda quadra, caratterizzata
dal fatto da TON = TOFF
(evidentemente DC = 50 %). Di seguito un esempio:

Spettro dell'onda quadra
Come dimostrato dal teorema delle serie di
Fourier, lo spettro dell'onda quadra è formato da:
- Una linea verticale nell'origine, con altezza pari al valor medio
del segnale
- Una linea verticale con frequenza pari a quella dell'onda quadra e
altezza pari a 2 · VPP / π
- Una linea verticale con frequenza pari al
doppio di quella dell'onda quadra e altezza 0
- Una linea verticale con frequenza pari al triplo di quella dell'onda
quadra e altezza pari a 2/3 · VPP / π
- Una linea verticale con frequenza pari al
quadruplo di quella dell'onda quadra e altezza 0
- Una linea verticale con frequenza pari al quintuplo di quella
dell'onda quadra e altezza pari a 2/5 · VPP / π
- N (numero dispari qualunque) linee spettrali con frequenza pari a N
volte quella dell'onda quadra e altezza pari a 2/N · VPP / π
Esempio 3
Un'onda quadra ha frequenza f = 10 kHz e ampiezza
picco-picco di VPP = 1 V:

Lo spettro del segnale è formato da linee con
frequenza 10 kHz,
30 kHz, 50 kHz... e ampiezza rispettivamente 0,64 V, 0,21 V, 0,13
V... Inoltre è presente una linea con "frequenza 0" e ampiezza di 500 mV.

In particolare abbiamo:
- La fondamentale con frequenza 10 kHz e ampiezza V10kHz = 2 · VPP / π (nota 2).
- Un'armonica con frequenza 30 kHz e ampiezza tre volte più piccola
della fondamentale
- Un'armonica con frequenza 50 kHz e ampiezza cinque volte più piccola
della fondamentale
- In sintesi: infinite armoniche con frequenza multipla intera dispari della
fondamentale di ampiezza sempre più piccola
Esercizio 4
Si consideri la seguente onda quadra (nel dominio del tempo):

- Calcolare il periodo
- Calcolare la frequenza
- Calcolare il valor medio
- Calcolare la tensione picco-picco
- Disegnare l'onda quadra nel dominio della frequenza
Esercizio 5
Si consideri la seguente onda quadra (nel dominio della frequenza):

- Calcolare la frequenza
- Calcolare il periodo
- Calcolare il valor medio
- Calcolare la tensione picco-picco
- Disegnare l'onda quadra nel dominio del tempo
Esercizio 6
Un'onda quadra ha VH = 3.3 V e VL = 0 V. La sua
frequenza è f = 1 MHz.
- Calcolare il periodo
- Calcolare il valor medio
- Calcolare la tensione picco-picco
- Disegnare l'onda quadra nel dominio del tempo
- Disegnare l'onda quadra nel dominio della frequenza
Spettro dell'onda rettangolare
Come dimostrato dal teorema delle serie di
Fourier, lo spettro del segnale rettangolare è formato da:
- Una linea verticale nell'origine, con altezza pari al valor medio
del segnale
- Una linea verticale con frequenza pari a quella del segnale e
altezza da calcolarsi con formule opportune, qui solo accennate
- Una linea verticale con frequenza pari al doppio di quella del
segnale
- Una linea verticale con frequenza pari al triplo di quella del
segnale
- N (numero qualunque) linee spettrali con frequenza pari a N volte
quella del segnale
L'ampiezza delle linee spettrali ha un andamento che, qualitativamente, è
quello della funzione:

Il grafico di questa funzione è il seguente:

Tale grafico è (immaginate una palla che cade e rimbalza su un
pavimento):
- sempre positivo (ovviamente...)
- decrescente non in modo monotono con l'aumento di x
- si annulla per valori di x posti a distanza regolare dall'origine
Tale grafico è spesso indicato come inviluppo.
Nello spettro del segnale rettangolare, il punto in cui l'inviluppo si
annulla è: t = 1 / TON.
Esempio 7
Un'onda rettangolare ha TON = 0,02 ms e frequenza pari a
10 kHz.
Nel dominio del tempo ha il seguente grafico:

Nel dominio della frequenza ha il seguente grafico:

- Lo spettro è costituito dalle linee rosse con frequenza 10 kHz, 20 kHz,
30 kHz...
- L'inviluppo, appena visibile ed usato come "linea di
costruzione", si annulla alle frequenze di 50 kHz (1/0,02 ms),
100 kHz, 150 kHz...
- Il valor medio è 200 mV ed ha "frequenza zero". Esso non è
allineato con l'inviluppo
Utile un confronto tra questo spettro e:
Esercizio 8
Dato il seguente grafico semi-quantitativo (nota 5):

- Calcolare il periodo e la frequenza
- Calcolare il TON ed il DC%
- Disegnare "tratteggiato" l'inviluppo
- Disegnare lo spettro semi-quantitativo (nota 5)
Esercizio 9
Dato il seguente grafico semi-quantitativo (nota 5):

- Calcolare il periodo e la frequenza
- Calcolare il TON ed il DC%
- Disegnare il grafico semi-quantitativo con il segnale nel dominio
del tempo (nota 5)
Esercizio 10
Un'onda rettangolare ha T = 1 ms e TON = 0,25 ms
- Calcolare la frequenza
- Disegnare l'onda rettangolare nel dominio del tempo (nota 5)
- Disegnare "tratteggiato" l'inviluppo
- Disegnare l'onda rettangolare nel dominio della frequenza (nota 5)
L'impulso
L'impulso è un segnale non periodico: la tensione ha un valore alto per
un certo tempo TON e successivamente vale 0 V. Tale segnale
non è evidentemente periodico.
Possiamo però immaginare che, nella parte destra del grafico, molto
lontano dall'origine, troppo a destra per essere disegnato, ci sia un altro
impulso, e poi un altro ancora alla stessa distanza, e così via. Tale segnale:
- ha lo stesso grafico nel dominio del tempo dell'impulso singolo
(nel senso che la parte restante non può essere disegnata)
- è, a suo modo, periodico con un periodo molto grande; in pratica è
un segnale rettangolare con DC molto piccolo
- la sua frequenza(=1/T) è molto piccola; lo spettro dell'impulso sarà quindi
formato da linee verticali molto vicine, in pratica una superficie, come
dimostrato attraverso la
trasformata di Fourier.
- l'inviluppo è lo stesso del segnale
rettangolare; esso si annulla
in corrispondenza di 1/TON e suoi multipli interi.
Esempio 11
Consideriamo un impulso di durata TON = 0,02 ms:

Lo spettro è una superficie con un andamento simile a
|sin(x)/x|. Si annulla in corrispondenza di 1 / TON = 50 kHz
(nota 5).

Esercizio 12
Disegnare lo spettro si un impulso con durata 10 ms
Un flusso di bit
Consideriamo una trasmissione di bit. Nel dominio del tempo appare come
una sequenza di uni e zeri. Per esempio, l'immagine seguente mostra una sequenza "casuale" di bit,
trasmessi alla frequenza di clock di 125 kHz. La durata di un bit è quindi
Tb = 1 / 125 kHz = 8 µs.

Possiamo immaginare tale sequenza come costituita da molti impulsi di
durata TON = 8 µs. Di conseguenza lo spettro dovrà essere come
sopra descritto, annullandosi a 125 kHz e
multipli interi. L'immagine seguente mostra lo spettro effettivamente
misurato con un analizzatore di spettro, nello specifico un Picoscope 3405A
che realizza tale misura via software:

Due osservazioni:
- nello spettro non è presente la frequenza del clock (nota
3)
- se aumenta il bit rate la prima frequenza a cui lo spettro si
annulla tende ad aumentare lo spettro tende quindi ad assomigliare allo
spettro del rumore con
cui può essere facilmente confuso
Note
- TON è il tempo per cui il segnale rimane alto, TOFF è il tempo per
cui il segnale rimane basso. Escludendo eventuali tempi di transizione,
il periodo è T = TON + TOFF. Il Duty Cycle è, in percentuale, il rapporto
tra TON e T: DC% = TON / T
- Si tratta, in questo caso, dell'ampiezza di picco della sinusoide. A
volte è invece riportata l'ampiezza efficace: V10kHz = √2 · VPP / π
- Il fatto che non sia presente la frequenza del clock complica il
sistema di ricezione: il clock del ricevitore va infatti generato
localmente e mantenuto sincronizzato con quello del trasmettitore,
oppure trasmesso separatamente rispetto ai dati. Se il clock fosse stato
presente nello spettro il problema avrebbe potuto essere risolto più
semplicemente con un filtro passa banda
- In alternativa alla potenza a volte è presente il
valore efficace al quadrato
- Non sono indicate le ampiezze perché non sono fornite le formule
relative...
Pagina creata nell'aprile 2023
Ultima modifica: 27 aprile 2023