Onda rettangolare

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Al solito: l'immagine di apertura non c'entra nulla con il contenuto della pagina. E sono alla ricerca di qualcosa di meglio.

Segnale rettangolare

Il segnale rettangolare (o anche onda rettangolare) è un segnale periodico caratterizzato da due livelli di tensione (High e Low). Il passaggio tra i due livelli è molto rapido, idealmente istantaneo.

Il segnale rettangolare è di particolare importanza perché permette di rappresentare due tipi di segnali importanti a livello applicativo:

Il segnale digitale nei diagrammi temporali
Il segnale PWM ( Pulse Width Modulation )

Esempio 1

Il grafico seguente mostra nel dominio del tempo un esempio di segnale rettangolare ideale:

Onda rettangolare

Le sue caratteristiche:

T	Period o Cycle Time (periodo)	100 µs
T_ON, T_H	High Pulse Width o semplicemente Width (durata dell'impulso alto )	20 µs
T_OFF, T_L	Low Pulse Width (durata dell'impulso basso)	80 µs
V_ON, V_H	High level (livello alto)	2 V
V_OFF. V_L	Low level (livello basso)	-1 V

Spesso vengono indicate anche altre caratteristiche, derivate dalle precedenti

f	Frequency (frequenza)	1 / T	10 kHz
DC	Duty Cycle o semplicemente Duty (ciclo utile)	T_ON / T · 100	20 %

Esempio 2

Nel mondo reale un segnale ad onda rettangolare nel dominio del tempo può ad esempio essere rappresentato su un oscilloscopio con l'immagine seguente:

Nella parte bassa dell'immagine alcune misure fatte automaticamente dallo strumento.

Onda quadra

Un caso particolare di onda rettangolare è l'onda quadra, caratterizzata dal fatto da T_ON = T_OFF (evidentemente DC = 50 %). Di seguito un esempio:

Onda quadra

Spettro dell'onda quadra

Come dimostrato dal teorema delle serie di Fourier, lo spettro dell'onda quadra è formato da:

Una linea verticale nell'origine, con altezza pari al valor medio del segnale
Una linea verticale con frequenza pari a quella dell'onda quadra e altezza pari a 2 · V_PP / π
Una linea verticale con frequenza pari al doppio di quella dell'onda quadra e altezza 0
Una linea verticale con frequenza pari al triplo di quella dell'onda quadra e altezza pari a 2/3 · V_PP / π
Una linea verticale con frequenza pari al quadruplo di quella dell'onda quadra e altezza 0
Una linea verticale con frequenza pari al quintuplo di quella dell'onda quadra e altezza pari a 2/5 · V_PP / π
N (numero dispari qualunque) linee spettrali con frequenza pari a N volte quella dell'onda quadra e altezza pari a 2/N · V_PP / π

Esempio 3

Un'onda quadra ha frequenza f = 10 kHz e ampiezza picco-picco di V_PP = 1 V:

Lo spettro del segnale è formato da linee con frequenza 10 kHz, 30 kHz, 50 kHz... e ampiezza rispettivamente 0,64 V, 0,21 V, 0,13 V... Inoltre è presente una linea con "frequenza 0" e ampiezza di 500 mV.

Spettro dell'onda quadra

In particolare abbiamo:

La fondamentale con frequenza 10 kHz e ampiezza V_10kHz = 2 · V_PP / π (nota 2).
Un'armonica con frequenza 30 kHz e ampiezza tre volte più piccola della fondamentale
Un'armonica con frequenza 50 kHz e ampiezza cinque volte più piccola della fondamentale
In sintesi: infinite armoniche con frequenza multipla intera dispari della fondamentale di ampiezza sempre più piccola

Esercizio 4

Si consideri la seguente onda quadra (nel dominio del tempo):

Esercizio 4

Calcolare il periodo
Calcolare la frequenza
Calcolare il valor medio
Calcolare la tensione picco-picco
Disegnare l'onda quadra nel dominio della frequenza

Esercizio 5

Si consideri la seguente onda quadra (nel dominio della frequenza):

Esercizio 5

Calcolare la frequenza
Calcolare il periodo
Calcolare il valor medio
Calcolare la tensione picco-picco
Disegnare l'onda quadra nel dominio del tempo

Esercizio 6

Un'onda quadra ha V_H = 3.3 V e V_L = 0 V. La sua frequenza è f = 1 MHz.

Calcolare il periodo
Calcolare il valor medio
Calcolare la tensione picco-picco
Disegnare l'onda quadra nel dominio del tempo
Disegnare l'onda quadra nel dominio della frequenza

Spettro dell'onda rettangolare

Come dimostrato dal teorema delle serie di Fourier, lo spettro del segnale rettangolare è formato da:

Una linea verticale nell'origine, con altezza pari al valor medio del segnale
Una linea verticale con frequenza pari a quella del segnale e altezza da calcolarsi con formule opportune, qui solo accennate
Una linea verticale con frequenza pari al doppio di quella del segnale
Una linea verticale con frequenza pari al triplo di quella del segnale
N (numero qualunque) linee spettrali con frequenza pari a N volte quella del segnale

L'ampiezza delle linee spettrali ha un andamento che, qualitativamente, è quello della funzione:

Modulo di sinx(x)/x

Il grafico di questa funzione è il seguente:

Modulo di sin(x) / x

Tale grafico è (immaginate una palla che cade e rimbalza su un pavimento):

sempre positivo (ovviamente...)
decrescente non in modo monotono con l'aumento di x
si annulla per valori di x posti a distanza regolare dall'origine

Tale grafico è spesso indicato come inviluppo.

Nello spettro del segnale rettangolare, il punto in cui l'inviluppo si annulla è: t = 1 / T_ON.

Esempio 7

Un'onda rettangolare ha T_ON = 0,02 ms e frequenza pari a 10 kHz.

Nel dominio del tempo ha il seguente grafico:

Segnale rettangolare

Nel dominio della frequenza ha il seguente grafico:

Spettro di un segnale rettangolare

Lo spettro è costituito dalle linee rosse con frequenza 10 kHz, 20 kHz, 30 kHz...
L'inviluppo, appena visibile ed usato come "linea di costruzione", si annulla alle frequenze di 50 kHz (1/0,02 ms), 100 kHz, 150 kHz...
Il valor medio è 200 mV ed ha "frequenza zero". Esso non è allineato con l'inviluppo

Utile un confronto tra questo spettro e:

Quello dell'onda quadra, caso particolare dell'onda rettangolare
Quello dell'impulso

Esercizio 8

Dato il seguente grafico semi-quantitativo (nota 5):

Onda rettangolare

Calcolare il periodo e la frequenza
Calcolare il T_ON ed il DC%
Disegnare "tratteggiato" l'inviluppo
Disegnare lo spettro semi-quantitativo (nota 5)

Esercizio 9

Dato il seguente grafico semi-quantitativo (nota 5):

Onda rettangolare

Calcolare il periodo e la frequenza
Calcolare il T_ON ed il DC%
Disegnare il grafico semi-quantitativo con il segnale nel dominio del tempo (nota 5)

Esercizio 10

Un'onda rettangolare ha T = 1 ms e T_ON = 0,25 ms

Calcolare la frequenza
Disegnare l'onda rettangolare nel dominio del tempo (nota 5)
Disegnare "tratteggiato" l'inviluppo
Disegnare l'onda rettangolare nel dominio della frequenza (nota 5)

L'impulso

L'impulso è un segnale non periodico: la tensione ha un valore alto per un certo tempo T_ONe successivamente vale 0 V. Tale segnale non è evidentemente periodico.

Possiamo però immaginare che, nella parte destra del grafico, molto lontano dall'origine, troppo a destra per essere disegnato, ci sia un altro impulso, e poi un altro ancora alla stessa distanza, e così via. Tale segnale:

ha lo stesso grafico nel dominio del tempo dell'impulso singolo (nel senso che la parte restante non può essere disegnata)
è, a suo modo, periodico con un periodo molto grande; in pratica è un segnale rettangolare con DC molto piccolo
la sua frequenza(=1/T) è molto piccola; lo spettro dell'impulso sarà quindi formato da linee verticali molto vicine, in pratica una superficie, come dimostrato attraverso la trasformata di Fourier.
l'inviluppo è lo stesso del segnale rettangolare; esso si annulla in corrispondenza di 1/T_ON e suoi multipli interi.

Esempio 11

Consideriamo un impulso di durata T_ON = 0,02 ms:

Lo spettro è una superficie con un andamento simile a |sin(x)/x|. Si annulla in corrispondenza di 1 / T_ON = 50 kHz (nota 5).

Spettro continuo

Esercizio 12

Disegnare lo spettro si un impulso con durata 10 ms

Un flusso di bit

Consideriamo una trasmissione di bit. Nel dominio del tempo appare come una sequenza di uni e zeri. Per esempio, l'immagine seguente mostra una sequenza "casuale" di bit, trasmessi alla frequenza di clock di 125 kHz. La durata di un bit è quindi Tb = 1 / 125 kHz = 8 µs.

Sequenza di bit

Possiamo immaginare tale sequenza come costituita da molti impulsi di durata T_ON = 8 µs. Di conseguenza lo spettro dovrà essere come sopra descritto, annullandosi a 125 kHz e multipli interi. L'immagine seguente mostra lo spettro effettivamente misurato con un analizzatore di spettro, nello specifico un Picoscope 3405A che realizza tale misura via software:

Spettro di una sequenza di bit

Due osservazioni:

nello spettro non è presente la frequenza del clock (nota 3)
se aumenta il bit rate la prima frequenza a cui lo spettro si annulla tende ad aumentare lo spettro tende quindi ad assomigliare allo spettro del rumore con cui può essere facilmente confuso

Note

T_ON è il tempo per cui il segnale rimane alto, T_OFF è il tempo per cui il segnale rimane basso. Escludendo eventuali tempi di transizione, il periodo è T = T_ON + T_OFF. Il Duty Cycle è, in percentuale, il rapporto tra T_ON e T: DC% = T_ON / T
Si tratta, in questo caso, dell'ampiezza di picco della sinusoide. A volte è invece riportata l'ampiezza efficace: V_10kHz = √2 · V_PP / π
Il fatto che non sia presente la frequenza del clock complica il sistema di ricezione: il clock del ricevitore va infatti generato localmente e mantenuto sincronizzato con quello del trasmettitore, oppure trasmesso separatamente rispetto ai dati. Se il clock fosse stato presente nello spettro il problema avrebbe potuto essere risolto più semplicemente con un filtro passa banda
In alternativa alla potenza a volte è presente il valore efficace al quadrato
Non sono indicate le ampiezze perché non sono fornite le formule relative...

Pagina creata nell'aprile 2023
Ultima modifica: 27 aprile 2023