Serie di Fourier

Fourier T-short (https://www.tostadora.it)

In fase di sviluppo Stesura preliminare In fase di sviluppo

Un quesito interessante: dato un generico segnale, possiamo immaginarlo come somma di tante sinusoidi? Ovviamente la risposta è si... altrimenti questa pagina non avrebbe ragion d'essere.

Per chi utilizza i metodi dell'analisi matematica, l'operazione per scomporre un generico segnale in somma di sinusoidi è complessa e classificata tra gli argomenti avanzati; il risultato è orgogliosamente mostrato dai due personaggi della fotografia di apertura. Questa scomposizione prende il nome di serie di Fourier o, per i segnali non periodici, trasformata di Fourier. La sua rappresentazione grafica prende il nome di spettro.

In realtà l'analisi dello spettro è il modo naturale con cui, per esempio, l'essere umano sente i suoni o vede i colori... Ed anche la base di un fondamentale modello cosmologico.

Due esempi

Di seguito alcuni esempi che mostrano lo spettro di un segnale digitale periodico, un segnale spesso presente nei sistemi di telecomunicazione. Le osservazioni riportate sono comunque estensibili a molti casi più generali.

Il primo segnale è un'onda quadra (TON = TOFF cioè DC% = 50%, nota 1) con frequenza pari a 10 kHz e ampiezza picco-picco di VPP =1 V.

Lo spettro è costituito da linee di ampiezza decrescente e frequenza multipla intera (dispari in questo caso) della frequenza dell'onda quadra:

Spettro dell'onda quadra

In particolare abbiamo:

Il secondo segnale è un'onda rettangolare (TON ≠ TOFF cioè DC% ≠ 50%) con TON = 0,02 ms e frequenza pari a 10 kHz.

Segnale rettangolare

Lo spettro è costituito da linee di ampiezza decrescenti in modo non monotono e frequenza pari a multipli interi della frequenza del segnale rettangolare.

Spettro di un segnale rettangolare

In particolare abbiamo:

Utile un confronto tra questo spettro e:

Inviluppo dell'inda quadra

Conclusione, di carattere generale e valide per qualunque segnale periodico:

Un segnale non periodico

Consideriamo infine un segnale non periodico costituito da un singolo impulso di durata TON = 0,02 ms:

Le linee dello spettro sono divenute talmente fitte da sembrare una superficie...

Spettro continuo

Non sono presenti linee spettrali in corrispondenza di 50 kHz e suoi multipli interi. Si noti che 1 / TON = 50 kHz.

La conclusione è di carattere generale: un segnale non periodico può essere ottenuto sommando molte (infinite...) sinusoide con frequenze molto vicine tra di loro.

Un flusso di bit

Consideriamo una trasmissione di bit. Nel dominio del tempo appare come una sequenza di uni e zeri. Per esempio, l'immagine seguente mostra una sequenza "casuale" di bit, trasmessi alla frequenza di clock di 125 kHz. La durata di un bit è quindi Tb = 1 / 125 kHz = 8 µs.

Sequenza di bit

Possiamo immaginare tale sequenza come costituita da molti impulsi di durata TON = 8 µs. Di conseguenza lo spettro dovrà essere come sopra descritto, annullandosi a 125 kHz e multipli interi. L'immagine seguente mostra lo spettro effettivamente misurato con un analizzatore di spettro, nello specifico il modulo incluso nel software del Picoscope 3405A:

Spettro di una sequenza di bit

Si noti che nello spettro non è presente la frequenza del clock (nota 3)

Attività 1

Disegnare nel dominio del tempo e della frequenza i due segnali rettangolare con le seguenti caratteristiche:

Primo segnale:

Secondo segnale:

Approfondimento: calcolare anche le ampiezze delle linee spettrali, recuperando autonomamente le formule necessarie.

Note

  1. TON è il tempo per cui il segnale rimane altro, TOFF è il tempo per cui il segnale rimane basso. Escludendo eventuali tempi di transizione, il periodo è T = TON + TOFF. Il Duty Cycle è, in percentuale, il rapporto tra TON e T: DC% = TON / T
  2. Si tratta, in questo caso, dell'ampiezza di picco della sinusoide. A volte è invece riportata l'ampiezza efficace
  3. Il fatto che non sia presente la frequenza del clock complica il sistema di ricezione: il clock del ricevitore va infatti generato localmente e mantenuto sincronizzato con quello del trasmettitore, oppure trasmesso separatamente rispetto ai dati. Se il clock fosse stato presente nello spettro il problema avrebbe potuto essere risolto più semplicemente con un filtro passa banda.


Data di creazione di questa pagina: ottobre 2020
Ultima modifica: 22 giugno 2021


Licenza "Creative Commons" - Attribuzione-Condividi allo stesso modo 3.0 Unported


Pagina principaleAccessibilitàNote legaliPosta elettronicaXHTML 1.0 StrictCSS 3

Vai in cima