Serie di Fourier

Fourier T-short (https://www.tostadora.it)

Un quesito interessante: dato un generico segnale, possiamo immaginarlo come somma di tante sinusoidi? Ovviamente la risposta è si... altrimenti questa pagina non avrebbe ragion d'essere.

Per chi utilizza i metodi dell'analisi matematica, l'operazione per scomporre un generico segnale in somma di sinusoidi è complessa e classificata tra gli argomenti avanzati; il risultato è orgogliosamente mostrato dai due personaggi della fotografia di apertura. Questa scomposizione prende il nome di serie di Fourier o, per i segnali non periodici, trasformata di Fourier. La sua rappresentazione grafica prende il nome di spettro.

In realtà l'analisi dello spettro è il modo naturale con cui, per esempio, l'essere umano sente i suoni o vede i colori... Ed anche la base di un fondamentale modello cosmologico.

Due esempi importanti

In questo paragrafo sono presenti due esempi che mostrano lo spettro di un segnale digitale periodico, il segnale base dei sistemi di telecomunicazione moderni. Le osservazioni riportate sono comunque estensibili a molti casi più generali e raccolte nelle conclusioni.

Il primo segnale è un'onda quadra (TON = TOFF cioè DC% = 50%, nota 1) con frequenza pari a 10 kHz e ampiezza picco-picco di VPP =1 V:

Lo spettro del segnale è formato da linee di ampiezza decrescente e frequenza pari alla frequenza del segnale e suoi multipli interi dispari: 10 kHz, 30 kHz, 50 kHz... Inoltre si osserva una linea con "frequenza 0". Si può dimostrare che la sua ampiezza è sempre pari al valor medio del segnale, 500 mV in questo esempio 

Spettro dell'onda quadra

In particolare abbiamo:

Il secondo segnale è un'onda rettangolare (TON ≠ TOFF cioè DC% ≠ 50%) con TON = 0,02 ms e frequenza pari a 10 kHz.

Segnale rettangolare

Lo spettro è costituito da linee di ampiezza decrescenti in modo non monotono e frequenza pari a multipli interi della frequenza del segnale rettangolare.

Spettro di un segnale rettangolare

In particolare abbiamo:

Utile un confronto tra questo spettro e:

Inviluppo dell'inda quadra

Altri esempi

Vediamo alcuni esempi di segnali, certamente meno importanti di quello dell'onda quadra e dell'onda rettangolare.

Segnale a denti di sega 

Consideriamo un segnale a denti di sega con frequenza pari a 25 kHz, cioè con periodo di 40 µs. Il nome deriva, come facilmente intuibile, dalla forma che il segnale assume nel dominio del tempo:

Lo spettro del segnale è formato da linee di ampiezza decrescente e frequenza pari alla frequenza del segnale e suoi multipli interi: 25 kHz, 50 kHz, 75 kHz... Inoltre si osserva una linea con "frequenza 0". Si può dimostrare che la sua ampiezza è sempre pari al valor medio del segnale, 500 mV in questo esempio

Segnale a denti di sega

Segnale triangolare

Consideriamo un segnale triangolare con frequenza 30 kHz, cioè con periodo di 33,3 µs. Il nome deriva, come facilmente intuibile, dalla forma che il segnale assume nel dominio del tempo:

Lo spettro del segnale è formato da linee di ampiezza decrescente e frequenza pari alla frequenza del segnale e suoi multipli interi dispari: 30 kHz, 90 kHz, 150 kHz... Inoltre si osserva una linea con "frequenza 0". Si può dimostrare che la sua ampiezza è sempre pari al valor medio del segnale, 500 mV in questo esempio

Spettro del segnale triangolare

Conclusione

Conclusione, di carattere generale e valida per qualunque segnale periodico:

  1. Lo spettro di un qualunque segnale periodico con frequenza f è costituito da linee verticali con frequenza multipla intera di f: f, 2·f, 3·f. Alcune di queste linee spettrali possono non esserci
  2. In alternativa al punto 1, ma esattamente con lo stesso significato: un segnale periodico con frequenza f può essere ottenuto sommando sinusoidi con frequenza multipla intera di f: f, 2·f, 3·f.... Alcune di queste sinusoidi possono avere ampiezza nulla
  3. Lo spettro contiene oltre alle linee di cui al punto 1 una linea verticale posta nell'origine, il valor medio
  4. In alternativa al punto 3, ma esattamente con lo stesso significato: un qualunque segnale periodico è formato dalle sinusoidi di cui al punto 2 sommate ad una tensione continua pari al valor medio.
  5. Nell'ordine abbiamo quindi nello spettro di un segnale periodico:
    • Il valor medio, sempre con frequenza zero. L'ampiezza dipende dal segnale e può anche essere 0
    • La fondamentale, con frequenza pari a quella del segnale. L'ampiezza dipende dal segnale e può anche essere 0
    • Le armoniche, con frequenza pari a multipli interi della fondamentale. L'ampiezza dipende dal segnale e può anche essere 0

Un segnale non periodico

Consideriamo infine un segnale non periodico costituito da un singolo impulso di durata TON = 0,02 ms:

Le linee dello spettro sono divenute talmente fitte da sembrare una superficie...

Spettro continuo

Non sono presenti linee spettrali in corrispondenza di 50 kHz e suoi multipli interi. Si noti che 1 / TON = 50 kHz.

La conclusione è di carattere generale: un segnale non periodico può essere ottenuto sommando molte (infinite...) sinusoide con frequenze molto vicine tra di loro.

Un flusso di bit

Consideriamo una trasmissione di bit. Nel dominio del tempo appare come una sequenza di uni e zeri. Per esempio, l'immagine seguente mostra una sequenza "casuale" di bit, trasmessi alla frequenza di clock di 125 kHz. La durata di un bit è quindi Tb = 1 / 125 kHz = 8 µs.

Sequenza di bit

Possiamo immaginare tale sequenza come costituita da molti impulsi di durata TON = 8 µs. Di conseguenza lo spettro dovrà essere come sopra descritto, annullandosi a 125 kHz e multipli interi. L'immagine seguente mostra lo spettro effettivamente misurato con un analizzatore di spettro, nello specifico un Picoscope 3405A che realizza tale misura via software:

Spettro di una sequenza di bit

Due osservazioni:

Banda

La banda di un segnale è l'intervallo di frequenze entro cui sono contenute tutte le linee spettrali di un segnale.

Alcuni esempi:

Spettro di potenza

Lo spettro a volte riporta, invece delle tensioni,le potenze delle sinusoidi (nota 4). La forma del grafico, dal punto di vista qualitativo, non cambia in modo sostanziale:

Partendo da questo grafico si può enunciare il teorema di Parceval:

La potenza di un segnale periodico è pari alla somma delle potenze delle sue linee spettrali

Lo spettro di potenza è spesso disegnato indicando come unità di misura il dBm (nota 6).

Note

  1. TON è il tempo per cui il segnale rimane alto, TOFF è il tempo per cui il segnale rimane basso. Escludendo eventuali tempi di transizione, il periodo è T = TON + TOFF. Il Duty Cycle è, in percentuale, il rapporto tra TON e T: DC% = TON / T
  2. Si tratta, in questo caso, dell'ampiezza di picco della sinusoide. A volte è invece riportata l'ampiezza efficace: V10kHz = √2 · VPP / π
  3. Il fatto che non sia presente la frequenza del clock complica il sistema di ricezione: il clock del ricevitore va infatti generato localmente e mantenuto sincronizzato con quello del trasmettitore, oppure trasmesso separatamente rispetto ai dati. Se il clock fosse stato presente nello spettro il problema avrebbe potuto essere risolto più semplicemente con un filtro passa banda
  4. In alternativa alla potenza a volte è presente il valore efficace al quadrato
  5. Formula a rigore valida solo per i resistori
  6. Ovviamente in questo caso non vale il teorema di Parceval. Perché?


Pagina creata nell'ottobre 2020
Ultima modifica: 24 settembre 2022


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