Serie di Fourier

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Fourier T-short (https://www.tostadora.it)

In fase di sviluppo Stesura preliminare In fase di sviluppo

Un quesito interessante: dato un generico segnale, possiamo immaginarlo come somma di tante sinusoidi?

Ovviamente la risposta è si... altrimenti questa pagina non avrebbe ragion d'essere (nota 9).

Per chi utilizza i metodi dell'analisi matematica, l'operazione per scomporre un generico segnale in somma di sinusoidi è complessa e classificata tra gli argomenti avanzati; il risultato è orgogliosamente mostrato dai due personaggi della fotografia di apertura. Questa scomposizione prende il nome di serie di Fourier o, per i segnali non periodici, trasformata di Fourier. La loro rappresentazione grafica prende il nome di spettro.

In realtà l'analisi spettrale è il modo naturale e più semplice con cui, per esempio, l'essere umano sente i suoni, vede i colori, descrive il movimento dei pianeti. Purtroppo posizioni oscurantiste di pensatori del passato, da Galileo (nota 10) a Lagrange (nota 11), hanno reso difficile ai più descrivere come è fatta la realtà...

Serie di Fourier

Enunciato del teorema: qualunque segnale periodico, continuo e limitato, con frequenza f0, può essere ottenuto sommando:

Vediamo alcuni esempi di segnali, limitandoci ad una rappresentazione grafica (spettro) e semi-qualitativa. I grafici qui mostrati sono stati ottenuti attraverso un programma di simulazione.

Esempio 1

Consideriamo il segnale rappresentato nel dominio del tempo dal seguente grafico:

Sinusoide con offset

Il segnale è evidentemente periodico (T = 1 ms; f = 1 kHz) ed ha valor medio 1 V.

É forse l'unico caso in cui è possibile con il solo intuito arrivare alla scomposizione del segnale in serie di Fourier: si tratta infatti della somma di:

Disegniamo lo spettro corrispondente, somma degli spettri dei due segnali sopra descritti:

Spettro di una sinusoide con offset

Esempio 2

Consideriamo un segnale a denti di sega (nota 7) con frequenza pari a 25 kHz, cioè con periodo di 40 µs. Il nome deriva, come facilmente intuibile, dalla forma che il segnale assume nel dominio del tempo:

In base al teorema di Fourier lo spettro del segnale è formato da linee di frequenza pari alla frequenza del segnale e suoi multipli interi: 25 kHz, 50 kHz, 75 kHz... Occorre poi aggiungere una linea con "frequenza 0" e ampiezza pari al valor medio del segnale, 500 mV in questo esempio.

In questo sito non sono riportate formule o altri metodi analitici per calcolare l'ampiezza delle linee spettrali diverse dal valor medio. Se interessa: it.wikipedia.org/wiki/Onda_a_dente_di_sega.

Segnale a denti di sega

Esempio 3

Consideriamo un segnale triangolare (nota 7) con frequenza 30 kHz, cioè con periodo di 33,3 µs. Il nome deriva, come facilmente intuibile, dalla forma che il segnale assume nel dominio del tempo:

In base al teorema di Fourier lo spettro del segnale è formato da linee di frequenza pari alla frequenza del segnale e suoi multipli interi: 30 kHz, 90 kHz, 150 kHz... Occorre poi aggiungere una linea con "frequenza 0" e ampiezza pari al valor medio del segnale, 500 mV in questo esempio.

In questo sito non sono riportate formule o altri metodi analitici per calcolare l'ampiezza delle linee spettrali diverse dal valor medio. Se interessa: it.wikipedia.org/wiki/Onda_triangolare.

Spettro del segnale triangolare

Onda rettangolare

Questo segnale, a differenza dei precedenti, ha notevolissima importanza e quindi è descritto in una pagina specifica: Onda rettangolare.

Esercizio 4

L'immagine seguente mostra il grafico prodotto dagli impulsi elettrici che contraggono il cuore umano. Le lettere P-Q-R-S-T sono tipiche dell'ambito medico ed identificano i punti che possono rilevare patologie.

Indicativamente, a riposo, le contrazioni avvengono 60 volte al minuto (60 bpm). L'ampiezza, non mostrata, è dell'ordine del millivolt. Il valor medio dell'ordine di 300 mV.

Segnale ECG

Conclusione

Conclusione, di carattere generale e valida per qualunque segnale periodico:

  1. Lo spettro di un qualunque segnale periodico con frequenza f è costituito da linee verticali con frequenza multipla intera di f: f, 2·f, 3·f. Alcune di queste linee spettrali possono non esserci
  2. In alternativa al punto 1, ma esattamente con lo stesso significato: un segnale periodico con frequenza f può essere ottenuto sommando sinusoidi con frequenza multipla intera di f: f, 2·f, 3·f.... Alcune di queste sinusoidi possono avere ampiezza nulla
  3. Lo spettro contiene oltre alle linee di cui al punto 1 una linea verticale posta nell'origine, il valor medio
  4. In alternativa al punto 3, ma esattamente con lo stesso significato: un qualunque segnale periodico è formato dalle sinusoidi di cui al punto 2 sommate ad una tensione continua pari al valor medio.
  5. Nell'ordine abbiamo quindi nello spettro di un segnale periodico:
    • Il valor medio, sempre con frequenza zero. L'ampiezza dipende dal segnale e può anche essere 0
    • La fondamentale, con frequenza pari a quella del segnale. L'ampiezza dipende dal segnale e può anche essere 0
    • Le armoniche, con frequenza pari a multipli interi della fondamentale. L'ampiezza dipende dal segnale e può anche essere 0

Trasformata di Fourier

Il teorema delle serie di Fourier è applicabile solo a segnali periodici. Se il segnale è non periodico occorre passare alle trasformate di Fourier, descritte dalla seguente formula:

Trasformata di fourier

(OK, meglio cambiare approccio...)

La trasformata di Fourier permette di cambiare la rappresentazione di un qualunque segnale dal dominio del tempo al dominio delle frequenze. Pur essendo uno strumento matematico completamente diverso, può essere considerata un'estensione delle serie di Fourier.

Dal punto di vista grafico la differenza fondamentale è che lo spettro di un segnale non periodico appare come una superficie piena. A livello intuitivo possiamo pensare che:

Esempio 5

La voce umana non è periodica. Il suo spettro appare quindi come una superficie piena, formata da molte sinusoidi, tutte molto vicine tra di loro; la loro frequenza è compresa tra circa 0 Hz(convenzionalmente 300 Hz) e poco meno di 4 kHz (convenzionalmente 3 800 Hz)

Di seguito come appare lo spettro della voce misurato con il software Audacity (nota 8):

Spettro della voce umana

Esempio 6

La musica contiene praticamente tutte le frequenza che l'orecchio umano può ascoltare, convenzionalmente comprese tra 30 Hz e 20 kHz.

Di seguito come appare lo spettro di un brano musicale misurato con il software Audacity (nota 8):

Spettro del segnale musicale

Banda

La banda di un segnale è l'intervallo di frequenze entro cui sono contenute tutte le linee spettrali di un segnale.

Alcuni esempi:

Spettro di potenza

Lo spettro a volte riporta, invece delle tensioni,le potenze delle sinusoidi (nota 4). La forma del grafico, dal punto di vista qualitativo, non cambia in modo sostanziale:

Partendo da questo grafico si può enunciare il teorema di Parceval: la potenza di un segnale periodico è pari alla somma delle potenze delle sue linee spettrali.

Lo spettro di potenza è spesso disegnato indicando come unità di misura il dBm (nota 6).

Note

  1. TON è il tempo per cui il segnale rimane alto, TOFF è il tempo per cui il segnale rimane basso. Escludendo eventuali tempi di transizione, il periodo è T = TON + TOFF. Il Duty Cycle è, in percentuale, il rapporto tra TON e T: DC% = TON / T
  2. Si tratta, in questo caso, dell'ampiezza di picco della sinusoide. A volte è invece riportata l'ampiezza efficace: V10kHz = √2 · VPP / π
  3. Il fatto che non sia presente la frequenza del clock complica il sistema di ricezione: il clock del ricevitore va infatti generato localmente e mantenuto sincronizzato con quello del trasmettitore, oppure trasmesso separatamente rispetto ai dati. Se il clock fosse stato presente nello spettro il problema avrebbe potuto essere risolto più semplicemente con un filtro passa banda
  4. In alternativa alla potenza a volte è presente il valore efficace al quadrato
  5. Formula a rigore valida solo per i resistori
  6. Ovviamente in questo caso non vale il teorema di Parceval, perlomeno così come è stato scritto. Perché?
  7. Il segnale non è continuo, ma con qualche forzatura, il teorema è applicabile
  8. Quello mostrato è in realtà uno spettro logaritmico
  9. Chiedo scusa a chi ha qualche competenza matematica per le approssimazioni, le imprecisioni ed anche gli errori concettuali che introduco: i destinatari di questa pagina sono gli studenti della prima classe del triennio di scuola superiore, quindi con competenze matematiche modeste
  10. Come per esempio spiegato da Giovanni Schiaparelli, Galileo non comprese che il modello tolemaico del sistema solare è una rappresentazione geometrica delle serie di Fourier. La cosa è peraltro ignota ancora oggi alla quasi totalità delle persone che si ritengono istruite
  11. Lagrange ed altri insigni matematici contestarono pesantemente il lavoro di Fourier per questioni formali, probabilmente senza comprenderne il senso


Pagina creata nell'ottobre 2020
Ultima modifica: 4 maggio 2023

Appunti scolastici - Versione 0.1019 - maggio 2023
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