Serie di Fourier

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Un quesito interessante: dato un generico segnale, possiamo immaginarlo come somma di tante sinusoidi? Ovviamente la risposta è si... altrimenti questa pagina non avrebbe ragion d'essere.

Per chi utilizza i metodi dell'analisi matematica, l'operazione per scomporre un generico segnale in somma di sinusoidi è complessa e classificata tra gli argomenti avanzati; il risultato è orgogliosamente mostrato dai due personaggi della fotografia di apertura. Questa scomposizione prende il nome di serie di Fourier o, per i segnali non periodici, trasformata di Fourier. La sua rappresentazione grafica prende il nome di spettro.

In realtà l'analisi dello spettro è il modo naturale con cui, per esempio, l'essere umano sente i suoni o vede i colori... Ed anche la base di un fondamentale modello cosmologico.

Due esempi importanti

In questo paragrafo sono presenti due esempi che mostrano lo spettro di un segnale digitale periodico, il segnale base dei sistemi di telecomunicazione moderni. Le osservazioni riportate sono comunque estensibili a molti casi più generali e raccolte nelle conclusioni.

Il primo segnale è un'onda quadra (T_ON = T_OFF cioè DC% = 50%, nota 1) con frequenza pari a 10 kHz e ampiezza picco-picco di V_PP =1 V:

Lo spettro del segnale è formato da linee di ampiezza decrescente e frequenza pari alla frequenza del segnale e suoi multipli interi dispari: 10 kHz, 30 kHz, 50 kHz... Inoltre si osserva una linea con "frequenza 0". Si può dimostrare che la sua ampiezza è sempre pari al valor medio del segnale, 500 mV in questo esempio

Spettro dell'onda quadra

In particolare abbiamo:

La fondamentale con frequenza 10 kHz (la stessa dell'onda quadra) e ampiezza di poco maggiore di 0,6 V, per la precisione V_10kHz = 2 · V_PP / π (nota 2).
Un'armonica con frequenza 30 kHz e ampiezza tre volte più piccola della fondamentale
Un'armonica con frequenza 50 kHz e ampiezza cinque volte più piccola della fondamentale
Infinite armoniche con frequenza multipla intera dispari della fondamentale di ampiezza sempre più piccola
Una linea spettrale con frequenza zero e, in questo esempio, ampiezza 0,5 V; si tratta del valor medio

Il secondo segnale è un'onda rettangolare (T_ON ≠ T_OFF cioè DC% ≠ 50%) con T_ON = 0,02 ms e frequenza pari a 10 kHz.

Segnale rettangolare

Lo spettro è costituito da linee di ampiezza decrescenti in modo non monotono e frequenza pari a multipli interi della frequenza del segnale rettangolare.

Spettro di un segnale rettangolare

In particolare abbiamo:

La fondamentale con frequenza 10 kHz, pari alla frequenza del segnale rettangolare
Infinite armoniche con frequenza 20 kHz, 30 kHz, 40 kHz... di ampiezza che tende a diminuire, anche se non in modo regolare
Non sono presenti linee spettrali in corrispondenza di 50 kHz e suoi multipli interi. Si noti che 1 / T_ON = 50 kHz
Una linea spettrale con frequenza zero, non particolarmente visibile in figura; si tratta del valor medio

Utile un confronto tra questo spettro e:

quello dell'onda quadra, che può essere considerata un caso particolare dell'onda rettangolare
Quello dell'impulso. In particolare si consideri nello spettro del segnale rettangolare una linea immaginaria che unisce gli estremi delle linee spettrali (inviluppo)

Inviluppo dell'inda quadra

Altri esempi

Vediamo alcuni esempi di segnali, certamente meno importanti di quello dell'onda quadra e dell'onda rettangolare.

Segnale a denti di sega

Consideriamo un segnale a denti di sega con frequenza pari a 25 kHz, cioè con periodo di 40 µs. Il nome deriva, come facilmente intuibile, dalla forma che il segnale assume nel dominio del tempo:

Lo spettro del segnale è formato da linee di ampiezza decrescente e frequenza pari alla frequenza del segnale e suoi multipli interi: 25 kHz, 50 kHz, 75 kHz... Inoltre si osserva una linea con "frequenza 0". Si può dimostrare che la sua ampiezza è sempre pari al valor medio del segnale, 500 mV in questo esempio

Segnale a denti di sega

Segnale triangolare

Consideriamo un segnale triangolare con frequenza 30 kHz, cioè con periodo di 33,3 µs. Il nome deriva, come facilmente intuibile, dalla forma che il segnale assume nel dominio del tempo:

Lo spettro del segnale è formato da linee di ampiezza decrescente e frequenza pari alla frequenza del segnale e suoi multipli interi dispari: 30 kHz, 90 kHz, 150 kHz... Inoltre si osserva una linea con "frequenza 0". Si può dimostrare che la sua ampiezza è sempre pari al valor medio del segnale, 500 mV in questo esempio

Spettro del segnale triangolare

Conclusione

Conclusione, di carattere generale e valida per qualunque segnale periodico:

Lo spettro di un qualunque segnale periodico con frequenza f è costituito da linee verticali con frequenza multipla intera di f: f, 2·f, 3·f. Alcune di queste linee spettrali possono non esserci
In alternativa al punto 1, ma esattamente con lo stesso significato: un segnale periodico con frequenza f può essere ottenuto sommando sinusoidi con frequenza multipla intera di f: f, 2·f, 3·f.... Alcune di queste sinusoidi possono avere ampiezza nulla
Lo spettro contiene oltre alle linee di cui al punto 1 una linea verticale posta nell'origine, il valor medio
In alternativa al punto 3, ma esattamente con lo stesso significato: un qualunque segnale periodico è formato dalle sinusoidi di cui al punto 2 sommate ad una tensione continua pari al valor medio.
Nell'ordine abbiamo quindi nello spettro di un segnale periodico:
- Il valor medio, sempre con frequenza zero. L'ampiezza dipende dal segnale e può anche essere 0
- La fondamentale, con frequenza pari a quella del segnale. L'ampiezza dipende dal segnale e può anche essere 0
- Le armoniche, con frequenza pari a multipli interi della fondamentale. L'ampiezza dipende dal segnale e può anche essere 0

Un segnale non periodico

Consideriamo infine un segnale non periodico costituito da un singolo impulso di durata T_ON = 0,02 ms:

Le linee dello spettro sono divenute talmente fitte da sembrare una superficie...

Spettro continuo

Non sono presenti linee spettrali in corrispondenza di 50 kHz e suoi multipli interi. Si noti che 1 / T_ON = 50 kHz.

La conclusione è di carattere generale: un segnale non periodico può essere ottenuto sommando molte (infinite...) sinusoide con frequenze molto vicine tra di loro.

Un flusso di bit

Consideriamo una trasmissione di bit. Nel dominio del tempo appare come una sequenza di uni e zeri. Per esempio, l'immagine seguente mostra una sequenza "casuale" di bit, trasmessi alla frequenza di clock di 125 kHz. La durata di un bit è quindi Tb = 1 / 125 kHz = 8 µs.

Sequenza di bit

Possiamo immaginare tale sequenza come costituita da molti impulsi di durata T_ON = 8 µs. Di conseguenza lo spettro dovrà essere come sopra descritto, annullandosi a 125 kHz e multipli interi. L'immagine seguente mostra lo spettro effettivamente misurato con un analizzatore di spettro, nello specifico un Picoscope 3405A che realizza tale misura via software:

Spettro di una sequenza di bit

Due osservazioni:

nello spettro non è presente la frequenza del clock (nota 3)
se aumenta il bit rate la prima frequenza a cui lo spettro si annulla tende ad aumentare lo spettro tende quindi ad assomigliare allo spettro del rumore con cui può essere facilmente confuso

Banda

La banda di un segnale è l'intervallo di frequenze entro cui sono contenute tutte le linee spettrali di un segnale.

Alcuni esempi:

Il segnale audio ha convenzionalmente una banda di circa 20 kHz, compresa tra 20 Hz e 20 kHz. Queste sono le frequenza che l'orecchio umano medio è in grado di sentire
Il segnale vocale ha convenzionalmente banda compresa tra 300 Hz e 4 kHz. Esso contiene tutte le frequenza necessarie alla comprensione del parlato
L'onda quadra ha teoricamente banda infinita. In genere ci si limita però a considerare solo le prime linee spettrali in quanto l'ampiezza delle altre tende rapidamente a decrescere e quindi diventano trascurabili.
Il segnale digitale è un caso particolare in quanto si conosce a priori che è un'onda quadra (o rettangolare); basta quindi conoscere la frequenza e l'ampiezza della prima linea spettrale per ricostruire l'intero segnale. Per esempio un flusso di bit 1-0-1-0... a 10 Mbit/s può essere correttamente ricostruito osservando la sola linea spettrale a 5 MHz. Le altre linee sappiamo avere frequenza 3, 5... volte maggiori e ampiezza 3, 5... volte minore

Spettro di potenza

Lo spettro a volte riporta, invece delle tensioni,le potenze delle sinusoidi (nota 4). La forma del grafico, dal punto di vista qualitativo, non cambia in modo sostanziale:

Invece del valor medio è riportata la sua potenza: P₀ = V_M² / R (nota 5)
Invece dell'ampiezza di picco delle sinusoidi, la corrispondente potenza: P = V_RMS² / R = V² / 2 / R (nota 5)

Partendo da questo grafico si può enunciare il teorema di Parceval:

La potenza di un segnale periodico è pari alla somma delle potenze delle sue linee spettrali

Lo spettro di potenza è spesso disegnato indicando come unità di misura il dBm (nota 6).

Note

T_ON è il tempo per cui il segnale rimane alto, T_OFF è il tempo per cui il segnale rimane basso. Escludendo eventuali tempi di transizione, il periodo è T = T_ON + T_OFF. Il Duty Cycle è, in percentuale, il rapporto tra T_ON e T: DC% = T_ON / T
Si tratta, in questo caso, dell'ampiezza di picco della sinusoide. A volte è invece riportata l'ampiezza efficace: V_10kHz = √2 · V_PP / π
Il fatto che non sia presente la frequenza del clock complica il sistema di ricezione: il clock del ricevitore va infatti generato localmente e mantenuto sincronizzato con quello del trasmettitore, oppure trasmesso separatamente rispetto ai dati. Se il clock fosse stato presente nello spettro il problema avrebbe potuto essere risolto più semplicemente con un filtro passa banda
In alternativa alla potenza a volte è presente il valore efficace al quadrato
Formula a rigore valida solo per i resistori
Ovviamente in questo caso non vale il teorema di Parceval. Perché?

Pagina creata nell'ottobre 2020
Ultima modifica: 24 settembre 2022