Un quesito interessante: dato un generico segnale, possiamo immaginarlo come somma di tante sinusoidi? Ovviamente la risposta è si... altrimenti questa pagina non avrebbe ragion d'essere.
Per chi utilizza i metodi dell'analisi matematica, l'operazione per scomporre un generico segnale in somma di sinusoidi è complessa e classificata tra gli argomenti avanzati; il risultato è orgogliosamente mostrato dai due personaggi della fotografia di apertura. Questa scomposizione prende il nome di serie di Fourier o, per i segnali non periodici, trasformata di Fourier. La sua rappresentazione grafica prende il nome di spettro.
In realtà l'analisi dello spettro è il modo naturale con cui, per esempio, l'essere umano sente i suoni o vede i colori... Ed anche la base di un fondamentale modello cosmologico.
In questo paragrafo sono presenti due esempi che mostrano lo spettro di un segnale digitale periodico, il segnale base dei sistemi di telecomunicazione moderni. Le osservazioni riportate sono comunque estensibili a molti casi più generali e raccolte nelle conclusioni.
Il primo segnale è un'onda quadra (TON = TOFF cioè DC% = 50%, nota 1) con frequenza pari a 10 kHz e ampiezza picco-picco di VPP =1 V:
Lo spettro del segnale è formato da linee di ampiezza decrescente e frequenza pari alla frequenza del segnale e suoi multipli interi dispari: 10 kHz, 30 kHz, 50 kHz... Inoltre si osserva una linea con "frequenza 0". Si può dimostrare che la sua ampiezza è sempre pari al valor medio del segnale, 500 mV in questo esempio
In particolare abbiamo:
Il secondo segnale è un'onda rettangolare (TON ≠ TOFF cioè DC% ≠ 50%) con TON = 0,02 ms e frequenza pari a 10 kHz.
Lo spettro è costituito da linee di ampiezza decrescenti in modo non monotono e frequenza pari a multipli interi della frequenza del segnale rettangolare.
In particolare abbiamo:
Utile un confronto tra questo spettro e:
Vediamo alcuni esempi di segnali, certamente meno importanti di quello dell'onda quadra e dell'onda rettangolare.
Consideriamo un segnale a denti di sega con frequenza pari a 25 kHz, cioè con periodo di 40 µs. Il nome deriva, come facilmente intuibile, dalla forma che il segnale assume nel dominio del tempo:
Lo spettro del segnale è formato da linee di ampiezza decrescente e frequenza pari alla frequenza del segnale e suoi multipli interi: 25 kHz, 50 kHz, 75 kHz... Inoltre si osserva una linea con "frequenza 0". Si può dimostrare che la sua ampiezza è sempre pari al valor medio del segnale, 500 mV in questo esempio
Consideriamo un segnale triangolare con frequenza 30 kHz, cioè con periodo di 33,3 µs. Il nome deriva, come facilmente intuibile, dalla forma che il segnale assume nel dominio del tempo:
Lo spettro del segnale è formato da linee di ampiezza decrescente e frequenza pari alla frequenza del segnale e suoi multipli interi dispari: 30 kHz, 90 kHz, 150 kHz... Inoltre si osserva una linea con "frequenza 0". Si può dimostrare che la sua ampiezza è sempre pari al valor medio del segnale, 500 mV in questo esempio
Conclusione, di carattere generale e valida per qualunque segnale periodico:
Consideriamo infine un segnale non periodico costituito da un singolo impulso di durata TON = 0,02 ms:
Le linee dello spettro sono divenute talmente fitte da sembrare una superficie...
Non sono presenti linee spettrali in corrispondenza di 50 kHz e suoi multipli interi. Si noti che 1 / TON = 50 kHz.
La conclusione è di carattere generale: un segnale non periodico può essere ottenuto sommando molte (infinite...) sinusoide con frequenze molto vicine tra di loro.
Consideriamo una trasmissione di bit. Nel dominio del tempo appare come una sequenza di uni e zeri. Per esempio, l'immagine seguente mostra una sequenza "casuale" di bit, trasmessi alla frequenza di clock di 125 kHz. La durata di un bit è quindi Tb = 1 / 125 kHz = 8 µs.
Possiamo immaginare tale sequenza come costituita da molti impulsi di durata TON = 8 µs. Di conseguenza lo spettro dovrà essere come sopra descritto, annullandosi a 125 kHz e multipli interi. L'immagine seguente mostra lo spettro effettivamente misurato con un analizzatore di spettro, nello specifico un Picoscope 3405A che realizza tale misura via software:
Due osservazioni:
La banda di un segnale è l'intervallo di frequenze entro cui sono contenute tutte le linee spettrali di un segnale.
Alcuni esempi:
Lo spettro a volte riporta, invece delle tensioni,le potenze delle sinusoidi (nota 4). La forma del grafico, dal punto di vista qualitativo, non cambia in modo sostanziale:
Partendo da questo grafico si può enunciare il teorema di Parceval:
La potenza di un segnale periodico è pari alla somma delle potenze delle sue linee spettrali
Lo spettro di potenza è spesso disegnato indicando come unità di misura il dBm (nota 6).
Pagina creata nell'ottobre 2020
Ultima modifica: 24 settembre 2022
Appunti scolastici - Versione 0.1014 - gennaio 2023
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