Serie di Fourier

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Stesura preliminare

Un quesito interessante: dato un generico segnale, possiamo immaginarlo come somma di tante sinusoidi? Ovviamente la risposta è si... altrimenti questa pagina non avrebbe ragion d'essere.

Per chi utilizza i metodi dell'analisi matematica, l'operazione per scomporre un generico segnale in somma di sinusoidi è complessa e classificata tra gli argomenti avanzati; il risultato è orgogliosamente mostrato dai due personaggi della fotografia di apertura. Questa scomposizione prende il nome di serie di Fourier o, per i segnali non periodici, trasformata di Fourier. La sua rappresentazione grafica prende il nome di spettro.

In realtà l'analisi dello spettro è il modo naturale con cui, per esempio, l'essere umano sente i suoni o vede i colori... Ed anche la base di un fondamentale modello cosmologico.

Due esempi

Di seguito alcuni esempi che mostrano lo spettro di un segnale digitale periodico, un segnale spesso presente nei sistemi di telecomunicazione. Le osservazioni riportate sono comunque estensibili a molti casi più generali.

Il primo segnale è un'onda quadra (T_ON = T_OFF cioè DC% = 50%, nota 1) con frequenza pari a 10 kHz e ampiezza picco-picco di V_PP =1 V.

Lo spettro è costituito da linee di ampiezza decrescente e frequenza multipla intera (dispari in questo caso) della frequenza dell'onda quadra:

Spettro dell'onda quadra

In particolare abbiamo:

La fondamentale con frequenza 10 kHz (la stessa dell'onda quadra) e ampiezza di poco maggiore di 0,6 V, per la precisione V_10kHz = 2 · V_PP / π (nota 2).
Un'armonica con frequenza 30 kHz e ampiezza tre volte più piccola della fondamentale
Un'armonica con frequenza 50 kHz e ampiezza cinque volte più piccola della fondamentale
Infinite armoniche con frequenza multipla intera dispari della fondamentale di ampiezza sempre più piccola
UUna linea spettrale con frequenza zero e ampiezza 0,5 V; si tratta del valor medio

Il secondo segnale è un'onda rettangolare (T_ON ≠ T_OFF cioè DC% ≠ 50%) con T_ON = 0,02 ms e frequenza pari a 10 kHz.

Segnale rettangolare

Lo spettro è costituito da linee di ampiezza decrescenti in modo non monotono e frequenza pari a multipli interi della frequenza del segnale rettangolare.

Spettro di un segnale rettangolare

In particolare abbiamo:

La fondamentale con frequenza 10 kHz, pari alla frequenza del segnale rettangolare
Infinite armoniche con frequenza 20 kHz, 30 kHz, 40 kHz... di ampiezza che tende a diminuire, anche se non in modo regolare
Non sono presenti linee spettrali in corrispondenza di 50 kHz e suoi multipli interi. Si noti che 1 / T_ON = 50 kHz
Una linea spettrale con frequenza zero, non particolarmente visibile in figura; si tratta del valor medio

Utile un confronto tra questo spettro e:

quello dell'onda quadra, che può essere considerata un caso particolare dell'onda rettangolare
Quello dell'impulso. In particolare si consideri nello spettro del segnale rettangolare una linea immaginaria che unisce gli estremi delle linee spettrali (inviluppo)

Inviluppo dell'inda quadra

Conclusione, di carattere generale e valide per qualunque segnale periodico:

Un segnale periodico con frequenza f può essere ottenuto sommando sinusoidi con frequenza multipla intera di f: f, 2·f, 3·f... Alcune di queste linee spettrali possono avere ampiezza nulla

Un segnale non periodico

Consideriamo infine un segnale non periodico costituito da un singolo impulso di durata T_ON = 0,02 ms:

Le linee dello spettro sono divenute talmente fitte da sembrare una superficie...

Spettro continuo

Non sono presenti linee spettrali in corrispondenza di 50 kHz e suoi multipli interi. Si noti che 1 / T_ON = 50 kHz.

La conclusione è di carattere generale: un segnale non periodico può essere ottenuto sommando molte (infinite...) sinusoide con frequenze molto vicine tra di loro.

Un flusso di bit

Consideriamo una trasmissione di bit. Nel dominio del tempo appare come una sequenza di uni e zeri. Per esempio, l'immagine seguente mostra una sequenza "casuale" di bit, trasmessi alla frequenza di clock di 125 kHz. La durata di un bit è quindi Tb = 1 / 125 kHz = 8 µs.

Sequenza di bit

Possiamo immaginare tale sequenza come costituita da molti impulsi di durata T_ON = 8 µs. Di conseguenza lo spettro dovrà essere come sopra descritto, annullandosi a 125 kHz e multipli interi. L'immagine seguente mostra lo spettro effettivamente misurato con un analizzatore di spettro, nello specifico il modulo incluso nel software del Picoscope 3405A:

Spettro di una sequenza di bit

Si noti che nello spettro non è presente la frequenza del clock (nota 3)

Attività 1

Disegnare nel dominio del tempo e della frequenza i due segnali rettangolare con le seguenti caratteristiche:

Primo segnale:

Frequenza: 100 MHz
DC: 50%
(Ampiezza non rilevante)

Secondo segnale:

Frequenza: 5 MHz
DC: 20%
(Ampiezza non rilevante)

Approfondimento: calcolare anche le ampiezze delle linee spettrali, recuperando autonomamente le formule necessarie.

Note

T_ON è il tempo per cui il segnale rimane altro, T_OFF è il tempo per cui il segnale rimane basso. Escludendo eventuali tempi di transizione, il periodo è T = T_ON + T_OFF. Il Duty Cycle è, in percentuale, il rapporto tra T_ON e T: DC% = T_ON / T
Si tratta, in questo caso, dell'ampiezza di picco della sinusoide. A volte è invece riportata l'ampiezza efficace
Il fatto che non sia presente la frequenza del clock complica il sistema di ricezione: il clock del ricevitore va infatti generato localmente e mantenuto sincronizzato con quello del trasmettitore, oppure trasmesso separatamente rispetto ai dati. Se il clock fosse stato presente nello spettro il problema avrebbe potuto essere risolto più semplicemente con un filtro passa banda.

Data di creazione di questa pagina: ottobre 2020
Ultima modifica: 22 giugno 2021