Somma di sinusoidi

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Stesura preliminare

Come studiare un circuito in cui sono presenti più di un generatore di tensione sinusoidale? Se il circuito è lineare, il modo più semplice è applicare il principio di sovrapposizione degli effetti. Occorre poi utilizzare alcune formule trigonometriche e studiare la funzione corrispondente. Oppure, più semplicemente, utilizzare le trasformate di Fourier.

In questa pagine cercherò di usare esclusivamente grafici e considerazioni qualitative per arrivare ad una rappresentazione di segnali complessi come somma di molte sinusoidi, con l'obbiettivo di facilitare lo studio dei sistemi di telecomunicazioni.

Somma di due sinusoidi isofrequenziali

Consideriamo il seguente circuito:

Due generatori sinusoidali

Sono presenti i due generatori sinusoidali V1 (frequenza 2 kHz, ampiezza 1 V) e V2 (frequenza 2 kHz, ampiezza 500 mV, in anticipo di 125 µs, nota 1). Il grafico di queste due tensioni è il seguente:

Le tensioni dei due generatori

I due generatori sono in serie e quindi per ottenere la tensione applicata ad R1 basta sommare punto per punto i due grafici. Per esempio:

All'istante t = 0 la tensione complessiva è pari a 500 mV
All'istante t =0,2 ms la tensione complessiva è di poco maggiore di 0 V
All'istante t = 0,4 ms la tensione complessiva è di circa -0,8 V

Di seguito il grafico complessivo, con in blu la tensione somma:

Tensione complessiva

Conclusione, con validità generale per la somma di segnali sinusoidali con la stessa frequenza: la tensione somma è una sinusoide con la stessa frequenza delle sinusoidi sue componenti. Per chi è interessato, ampiezza e fase della somma posso essere calcolate con formule trigonometriche oppure (consigliato) usando i numeri complessi ed applicando quanto qui descritto..

Somma di due sinusoidi non isofrequenziali

Consideriamo lo stesso schema precedente, ma con due generatori sinusoidali con le seguenti caratteristiche:

V1: frequenza 1,5 kHz, ampiezza 1 V, fase nulla
V2: frequenza 1 kHz, ampiezza 1 V, fase nulla

Il grafico di queste due tensioni è il seguente:

La somma di queste due sinusoidi è complessa da immaginare (ed anche da disegnare per via analitica...). Ci viene in aiuto il software di simulazione:

Somma di due tensioni a frequenza diversa

Si noti che tale segnale è periodico con frequenza 500 Hz e non sinusoidale.

Conclusione, con validità generale per la somma di segnali sinusoidali con frequenza diversa: la tensione somma è un segnale variabile, non sinusoidale, con frequenza pari al Massimo Comun Divisore delle frequenze delle sinusoidi sue componenti.

Somma di due sinusoidi con frequenza multipla

Non molto diverso dal precedente il caso in cui le due sinusoidi sommate hanno una frequenza multipla intera dell'altra. Consideriamo:

V1: frequenza 1 kHz, ampiezza 1 V, fase nulla
V2: frequenza 3 kHz, ampiezza 500 mV, fase nulla

Di seguito i grafici di tali tensioni:

Somma di due sinusoidi con frequenza multipla

La somma di queste due sinusoidi è complessa da immaginare (ed anche da disegnare per via analitica...). Ci viene in aiuto il software di simulazione:

Somma di due sinusidi con frequenza multipla

Si noti la frequenza pari ad 1 kHz.

Conclusione, con validità generale per la somma di segnali sinusoidali con frequenza multipla intera: la tensione somma è un segnale variabile, non sinusoidale, con frequenza pari a quella della sinusoide con frequenza inferiore. Le singole linee spettrali sono chiamate armoniche; la prima armonica è chiamata fondamentale oppure prima armonica, le successive sono numerate seconda armonica (frequenza doppia della fondamentale), terza armonica (frequenza tripla) ecc.

Una rappresentazione grafica

Se un segnale è somma di sinusoidi, è possibile una rappresentazione grafica che esplicita questo fatto:

L'ascissa riporta le frequenze
L'ordinata l'ampiezza (nota 2)
Una sinusoide appare come un segmento verticale con lunghezza pari alla sua ampiezza, che inizia dall'asse orizzontale in corrispondenza della sua frequenza

Per esempio una sinusoide con ampiezza 1.1 V e frequenza 2 kHz può essere disegnata nel dominio delle frequenze con il seguente grafico:

Spettro di una sinusoide

Tale grafico è chiamato spettro del segnale (nota 3) e una singola linea verticale linea spettrale. Altri due termini spesso utilizzati sono:

Dominio del tempo per indicare grafici ed equazioni in cui l'asse X o la variabile indipendente è il tempo
Dominio della frequenza per indicare grafici ed equazioni in cui l'asse X o la variabile indipendente è la frequenza

Vediamo gli spettri dei tre segnali descritti in precedenza:

Un segnale somma di due sinusoidi con la stessa frequenza è a sua volta una sinusoide. Di conseguenza il suo spettro sarà formato da una singola linea spettrale che, nel caso di questo esempio, ha lunghezza di circa 1,1 V e si trova in corrispondenza dei 2 kHz, grafico identico al precedente esempio:

Spettro di una sinusoide

Consideriamo il caso in cui in segnale è ottenuto sommando due sinusoidi con frequenza diversa: lo spettro sarà formato da due linee verticali con lunghezza pari all'ampiezza delle due sinusoidi (in questo caso per entrambe 1 V) in corrispondenza delle rispettive frequenze (1 kHz e 1,5 kHz):

Due sinusoidi con diversa frequenza

Consideriamo infine le due sinusoidi con frequenza multipla una dell'altra. Lo spettro è formato da una linea spettrale di ampiezza 1 V e frequenza 1 kHz (prima armonica) ed una seconda linea spettale con ampiezza 500 mV e frequenza 3 kHz (terza armonica, a frequenza tripla della fondamentale).

Spetto: 1 e 3 kHz

Spettro di potenza

L'asse verticale dello spettro può mostrare;

La tensione di picco dei vari segnali, come quanto mostrato nei grafici presenti in questa pagina
La tensione efficace (RMS) dei vari segnali (nota 4)
La potenza media dei vari segnali, su scala lineare (nota 5)
La potenza media dei vari segnali, in unità logaritmiche (nota 6)

Inoltre: l'asse delle frequenza può essere su scala lineare oppure logaritmica.

Esempio

Un segnale è la somma di:

Un segnale continuo con ampiezza 2 V
Un segnale sinusoidale con ampiezza di picco 2 V e frequenza 1 kHz

Esso è applicato ad un resistore di 50 Ω.

Disegnare il segnale nel dominio del tempo:

Somma di sinusoide e tensione continua

Disegnare lo spettro del segnale (valori di picco - mV):

Somma di sinusoide e tensione continua

Disegnare lo spettro del segnale (valori efficaci - mV):

Somma di sinusoide e tensione continua

Disegnare lo spettro del segnale (potenza media, mW):

Disegnare lo spettro del segnale (potenza media in unità logaritmiche, dBm):

Note

Un anticipo di 125 µs corrisponde per un segnale a 2 kHz ad un quarto del periodo, cioè una fase di 90 °
A volte viene indicata la tensione efficace, a volte la tensione di picco. Ovviamente ciò causa confusione. In questa pagina troverete il valore di picco per facilitare il confronto tra i grafici.
Quello qui descritto è solo una parte dello spettro, quello relativo al modulo: mancano infatti informazioni relative alla fase
La tensione efficace di un segnale sinusoidale si ottiene dividendo la tensione di picco per la radice quadrata di 2. La tensione efficace del valor medio coincide con la sua tensione media
La potenza media di un segnale si ottiene dividendo la tensione efficace al quadrato per la resistenza alla quale tale tensione è applicata. Tale formula è corretta solo se tensione e corrente sono in fase, cosa che nei segnali usati nei sistemi di telecomunicazioni è vera nella maggioranza dei casi
La potenza media di un segnale espressa in unità logaritmiche si ottiene con la formula: P_dBm = 10·log(P_mW)

Data di creazione di questa pagina: settembre 2020
Ultima modifica: 10 settembre 2022