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Il principio di sovrapposizione

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Sovrapposizione degli effetti

In fase di sviluppo Stesura preliminare In fase di sviluppo

Il principio di sovrapposizione (degli effetti) è applicabile esclusivamente ai circuiti lineari contenenti almeno due generatori di tensione e/o corrente (nota 1). A queste condizioni è possibile studiare separatamente l'effetto dei singoli generatori presenti sapendo che l'effetto complessivo è pari alla somma algebrica dei effetti dei singoli generatori.

In pratica:

Per annullare un generatore:

Il fatto che questo principio sia applicabile esclusivamente ai circuiti lineari, può essere usato come definizione rigorosa di circuito lineare: un circuito è lineare se ad esso è applicabile il principio di sovrapposizione degli effetti.

Esempio 1

Consideriamo il seguente circuito e calcoliamo la tensione V3 ai capi di R3 e la corrispondente corrente I3. I risultati sono già mostrati nello schema.

Innanzitutto osserviamo che il principio di sovrapposizione è applicabile: il circuito contiene solo resistori e generatori di tensione e quindi è lineare.

Generatori in serie

Nella fotografia di apertura trovate un'applicazione nel mondo reale: due pile AAA in serie sono state schematizzate come due generatori reali di tensione con Vin = 1,5 V (nello schema: Va e Vb) e resistenza interna Rin = 1 Ω (nello schema: R1 e R2). Chiunque le abbia mai usate per alimentare un circuito sa per esperienza che la tensione in uscita è circa 3 V (nota 2).

Prima parte: annulliamo Vb

Annulliamo Vb, lasciando la sua resistenza interna R2, e calcoliamo I'3. Si noti che I3 è stata indicata con un singolo apice, per evidenziare che è solo parte del risultato.

Generatori in serie - Va

La corrente in R3 si calcola molto velocemente osservando che R1, R2 ed R3 sono in serie:

Formula per calcolare il contributo di Va

Seconda parte: annulliamo Va

Il procedimento lo stesso: annulliamo Va e calcoliamo I''3, indicata con un doppio apice.

Generatori in serie - Vb

Il circuito è praticamente identico al precedente, come pure il risultato. Quindi:

Formula per calcolare il contributo di Vb

Conclusione

La corrente nel circuito originario è pari alla somma algebrica delle due correnti trovate:

29,4 mA

La tensione ai capi di R3 la possiamo calcolare applicando la legge di Ohm; vale 2,94 V.

Esempio 2

Consideriamo il seguente circuito e calcoliamo la tensione V3 ai capi di R3 e la corrispondente corrente I3. Anche in questo caso i risultati sono già mostrati nello schema.

Due batterie in parallelo

Innanzitutto osserviamo che il principio di sovrapposizione è applicabile: il circuito contiene solo resistori e generatori di tensione e quindi è lineare.

Potrebbe trattarsi di due pile in parallelo, configurazione molto meno frequente della precedente.

Prima parte: annulliamo Vb

Annulliamo Vb e calcoliamo la tensione V'3 ai capi di R3; il circuito corrispondente è il seguente.

 Annulliamo Vb

Per la risoluzione possiamo utilizzare uno qualunque dei metodi noti; ne vengono mostrati tre: iniziamo applicando la legge di Ohm ed in seguito, per ottenere lo stesso risultato, utilizzeremo il teorema di Thévenin oppure i principi di Kirchhoff. Ovviamente è sufficiente scegliere una sola delle tre strade mostrate ed altre ancora se ne potrebbero trovare, ma una cosa è certa: tutte devono portare allo stesso risultato!

R2 ed R3 sono in parallelo. R23, parallelo di R2 ed R3, è circa 0.99 Ω.

R1 e R23 sono in serie.

R123

La corrente in R123 è 0,754 A (legge di Ohm); anche la corrente in R23 è 0,754 A: R1 e R23 sono infatti in serie.

La tensione ai capi di R23 è 0.746 V (legge di Ohm); anche la tensione ai capi di R3 è 0,746 V: R2 ed R3 sono infatti in parallelo.

Quindi V'3 = 0,746 V. Per la legge di Ohm I'3 = 7,46 mA.

Prima parte: annulliamo Vb (bis, procedimento alternativo)

Un metodo alternativo per calcolare I'3 e V'3: possiamo applicare il teorema di Thévenin trasformando il bipolo alla sinistra della linea tratteggiata verde nel corrispondente generatore reale, trovando VEQ ed REQ, e quindi trovare la corrente in R3.

Applichiamo Thévenin

La tensione equivalente e la resistenza equivalente secondo Thévenin del bipolo a sinistra valgono VEQ = 0,75 V e REQ = 0,5 Ω. Il calcolo è lasciato come esercizio. (nota 3)

Applichiamo Thévenin

R3 ed REQ sono in serie (R3EQ = 100,5 Ω) e quindi, applicando la legge di Ohm, I'3 = 7,46 mA; evidentemente è lo stesso valore calcolato precedentemente.

Prima parte: annulliamo Vb (ter, procedimento alternativo)

Una terza strada per trovare I'3 e V'3: possiamo applicare i principi di Kirchhoff (nota 4).

Dopo aver indicato sullo schema tensioni (in blu) e le correnti (in verde) scriviamo il sistema da risolvere, nelle tre incognite I1, I2 ed I3:

Dalla seconda equazione ricaviamo I1:

Dalla terza ricaviamo I2:

 

Sostituiamo nella prima e ricaviamo I3:

Con i dati forniti ricaviamo I'3 = 7,46 mA, valore ovviamente coincidente con quanto precedentemente calcolato.

Seconda parte: annulliamo Va

Annulliamo Va

R1 e R3 sono in parallelo e, rifacendo uno degli stessi procedimenti visti nel punto precedente, troviamo che V'3 = 0,746 V, cosa peraltro ovvia, viste le disposizioni dei componenti e l'identico valore.

Conclusione

La tensione ai capi di R3 nel circuito originale è quindi pari alla somma di V'3 e V''3: V3 = 1,49 V

I3 è pari a 14,9 mA (legge di Ohm).

Esempio 3

Consideriamo il seguente circuito e calcoliamo la tensione VLED ai capi del LED e la corrispondente corrente ILED. Anche in questo caso i risultati sono già mostrati nello schema.

Il principio di sovrapposizione non è applicabile: il circuito contiene infatti un LED, elemento non lineare. Una soluzione alternativa è presentata con questo esempio.

Esempio 4

Consideriamo il seguente circuito e calcoliamo la corrente I3. Anche in questo caso il risultato è già mostrato nello schema.

Innanzitutto osserviamo che il principio di sovrapposizione è applicabile: il circuito contiene solo resistori e generatori di tensione e quindi è lineare.

Prima parte: eliminiamo Vb

Abbiamo un generatore di tensione da 10 V e tre resistenze in serie, pari a 5 kΩ. La corrente I'3 è quindi di 2 mA, con verso orario.

Parte seconda: eliminiamo Va

Abbiamo un generatore di tensione da 5 V e tre resistenze in serie, pari a 5 kΩ. La corrente I''3 è quindi di 1 mA, con verso antiorario.

Conclusione

La corrente complessiva è pari a I3 = I'3 + I''3 = 2 - 1 = 1 mA, in senso orario. Si noti che i versi delle due correnti I'3 e I''3 sono opposti e quindi la somma algebrica si è tradotta in una differenza.

Note

  1. Il termine effetto va qui inteso come valore di una corrente o, indifferentemente, di una tensione
  2. In realtà la fotografia di apertura mostra due accumulatori NiMh, con tensione a vuoto di circa 1,2 V e resistenza interna di centesimi di ohm
  3. Utile l'esempio 1 qui proposto
  4. In genere la risoluzione manuale con Kirchhoff è lunga ed è facile commettere errori. Per questi sono benvenuti software come WIMS


Data di creazione di questa pagina: novembre 2019
Ultima modifica: 21 novembre 2019 


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