Segnale sinusoidale: esercizi

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La descrizione dei termini e dei concetti qui utilizzati è alla pagina Segnale sinusoidale, da studiare prima e consultare facendo gli esercizi.

Come per tutte le attività che richiedono risultati quantitativi è indispensabile indicare sempre:

Le unità di misura dei risultati
Le unità di misura presenti sugli assi dei grafici
I numeri presenti sugli assi, se noti

Nel fare i grafici non è necessario né l'uso di software, né del "righello". Ovviamente è sempre presente un'approssimazione, ma è opportuno cercare di rispettare le scale.

Esempio 1

Un segnale sinusoidale ha ampiezza massima 10 V, frequenza 50 Hz e fase -45°.

Scrivere la funzione
Disegnare il grafico nel dominio del tempo
Disegnare il grafico del modulo nel dominio della frequenza (spettro)
Disegnare la rappresentazione vettoriale

La pulsazione è ω = 2·π·50 = 314 rad/s.

La fase espressa in radianti è φ = -π/4 = -0,78 rad.

La funzione matematica che descrive il segnale è quindi:

v(t) = 10 · sin (314 · t - 0.78)

Il periodo è T = 1 / 50 = 20 ms.

La fase è negativa, quindi la sinusoide "inizia" dopo dell'origine degli assi. Per quantificare possiamo in alternativa considerare che:

In base alla funzione appena scritta, all'istante t = 0, la tensione vale circa v(0) = -7 V
45° sono un ottavo di angolo, cioè un ottavo del periodo della sinusoide, cioè 2.5 ms: questo è l'istante in cui "inizia" la sinusoide

Nel disegnare il grafico è obbligatorio indicare il valore di picco della tensione, come peraltro presente nel testo: V_P = 10 V. In conclusione:

Sinusoide 50 Hz

Immediato il disegno dello spettro:

Immediata anche la rappresentazione vettoriale, mettendo in evidenza la proiezione del vettore sull'asse X e sull'asse Y:

Rappresentazione vettoriale

Esercizio 2, parzialmente svolto

Si consideri la seguente sinusoide:

Esercizio 3

Determinare Vpp, Vp, V_RMS, f e T, con le rispettive unità di misura
Determinare ω e φ, con le rispettive unità di misura. Per la fase utilizzare sia i radianti che i gradi
Disegnare lo spettro del segnale (solo modulo)
Disegnare la rappresentazione vettoriale del segnale
Scrivere la funzione corrispondente:

v(t) = 5 · sin(324·10³ · t + 0,52)

Esercizio 3

Disegnare il grafico (nel dominio del tempo e nel dominio della frequenza), la rappresentazione vettoriale e scrivere la funzione della seguente sinusoide:

V_RMS = 10V
f = 10kHz
φ = 90°

Esercizio 4, parzialmente svolto

Date le seguenti due sinusoidi:

calcolare la tensione efficace della "sinusoide verde"
calcolare la tensione efficace della "sinusoide rossa"
calcolare la loro frequenza
calcolare la differenza di fase (o semplicemente fase oppure sfasamento)

Due sinusoidi isofrequanziali

Relativamente all'ultimo punto, possiamo utilizzare la proporzione:

0,2 / 360° = 0,02 / φ → φ = 0,02 · 360 / 0,2

Possiamo leggere sul grafico che il periodo è di circa 0,2 ms e che tra le due sinusoidi è presente un ritardo di circa 0,02 ms, cioè di circa un decimo del periodo. La fase è quindi circa 36° (cioè un decimo dell'angolo giro).

Esercizio 5

Dato il seguente spettro, relativo alla tensione picco:

Sinusoide 3 kHz

Determinare Vpp, Vp, V_RMS, f, ω e T, con le rispettive unità di misura
Disegnare il segnale nel dominio del tempo (si consideri la fase φ = -45°)
Scrivere la funzione corrispondente (si consideri la fase φ = -45°)
Disegnare la rappresentazione vettoriale (si consideri la fase φ = -45°)

Esercizio 6

Un segnale sinusoidale con frequenza 2 MHz ha la seguente rappresentazione vettoriale:

Rappresentazione vettoriale

Determinare Vpp, Vp, V_RMS, ω e T, con le rispettive unità di misura
Disegnare il segnale nel dominio del tempo
Scrivere la funzione corrispondente
Disegnare lo spettro (solo modulo)

Data di creazione di questa pagina: aprile 2023
Ultima modifica: 19 maggio 2023