Segnale sinusoidale: esercizi

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La descrizione dei termini e dei concetti qui utilizzati è alla pagina Segnale sinusoidale, da studiare prima e consultare facendo gli esercizi.

Come per tutte le attività che richiedono risultati quantitativi è indispensabile indicare sempre:

Le unità di misura dei risultati
Le unità di misura presenti sugli assi dei grafici
I numeri presenti sugli assi, se noti

Nel fare i grafici non è necessario né l'uso di software, né del "righello". Ovviamente è sempre presente un'approssimazione, ma è opportuno cercare di rispettare le scale.

Esempio 1

Un segnale sinusoidale ha ampiezza massima 10 V, frequenza 50 Hz e fase -45°.

Scrivere la funzione
Disegnare il grafico nel dominio del tempo
Disegnare il grafico del modulo nel dominio della frequenza (spettro)
Disegnare la rappresentazione vettoriale

La pulsazione è ω = 2·π·50 = 314 rad/s.

La fase espressa in radianti è φ = -π/4 = -0,78 rad.

La funzione matematica che descrive il segnale è quindi:

v(t) = 10 · sin (314 · t - 0.78)

Il periodo è T = 1 / 50 = 20 ms.

La fase è negativa, quindi la sinusoide è in ritardo ("inizia" dopo dell'origine degli assi). Per quantificare possiamo considerare che 45° sono un ottavo di angolo, cioè un ottavo del periodo della sinusoide, cioè 2.5 ms. In alternativa possiamo ovviamente usare la formula.

Nel disegnare il grafico è opportuno non indicare troppi valori numerici, per non complicare la lettura del grafico. Per esempio è sufficiente indicare il valore di picco della tensione (V_P = 10 V), il periodo (20 ms) ed il ritardo (T_D = 2.5 ms):

Sinusoide 50 Hz nel dominio del tempo

Immediato il disegno dello spettro: una singola linea verticale con lunghezza 10 V (oppure 7,07 V se è richiesto il valore efficace) e posizione 50 Hz. In questo grafico non appare nessuna informazione relativa alla fase.

Immediata anche la rappresentazione vettoriale: una linea che parte dall'origine, inclinata di 45° verso il basso e lunghezza 10 V (oppure 7,07 V_RMS); potrebbe essere utile mettere in evidenza la proiezione del vettore sull'asse X (7 V) e sull'asse Y (-7 V), ottenuta applicando formule trigonometriche o il teorema di Pitagora. In questo grafico non appare nessuna informazione relativa alla frequenza.

Rappresentazione vettoriale

Esercizio 2, parzialmente svolto

Si consideri la seguente sinusoide:

Esercizio 3

Determinare Vpp, Vp, V_RMS, f e T, con le rispettive unità di misura
Determinare ω e φ, con le rispettive unità di misura. Per la fase utilizzare sia i radianti che i gradi
Disegnare lo spettro del segnale (solo modulo)
Disegnare la rappresentazione vettoriale del segnale
Scrivere la funzione corrispondente:

v(t) = 5 · sin(324·10³ · t + 0,52)

Esercizio 3

Disegnare il grafico (nel dominio del tempo e nel dominio della frequenza), la rappresentazione vettoriale e scrivere la funzione della seguente sinusoide:

V_RMS = 10 V
f = 10 kHz
φ = 90°

Esercizio 4, parzialmente svolto

Date le seguenti due sinusoidi:

calcolare la tensione efficace della "sinusoide verde"
calcolare la tensione efficace della "sinusoide rossa"
calcolare la loro frequenza
calcolare la differenza di fase (o semplicemente fase oppure sfasamento)

Due sinusoidi isofrequanziali

Relativamente all'ultimo punto, possiamo utilizzare la proporzione:

0,2 / 360° = 0,02 / φ → φ = 0,02 · 360 / 0,2

Possiamo leggere sul grafico che il periodo è di circa 0,2 ms e che tra le due sinusoidi è presente un ritardo di circa 0,02 ms; applicando la formula: φ = 36°.

Allo stesso risultato si poteva arrivare più velocemente applicando la stessa formula e misurando i tempi in "quadretti":