Unità logaritmiche

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Stesura preliminare

Spesso nella definizione di grandezze elettroniche (e non solo) vengono usati i logaritmi. Qualche ragione di questa scelta:

Molte grandezze sono percepite dai nostri sensi con scala logaritmica. Per esempio l'intensità dei suoni o della luce, le frequenze (scala musicale); usare scale logaritmiche è quindi la scelta naturale
Con i logaritmi è possibile rappresentare sullo stesso grafico grandezze molto grandi e molto piccole
In molti casi la rappresentazione grafica di una legge fisica si trasforma in rette usando i logaritmi anziché curve usando unità lineari
(ragione storica) l'uso dei logaritmi semplifica l'esecuzione di moltiplicati e divisioni: diventano infatti somme e sottrazioni

Asse logaritmico

Un asse con scala logaritmico appare come in figura, disegnato con tratti neri:

Asse logaritmico

I numeri in rosso indicano le potenze di 10. La linea corrispondente in genere è disegnata continua
I numeri in verde indicano i valori intermedi. In genere non sono indicati perché... semplicemente non abbiamo abbastanza spazio per scriverli tutti. La linea corrispondente in genere è disegnata tratteggiata.
L'intervallo tra un numero e quello 10 volte più grande è chiamato decade. Tutte le decadi hanno la stessa lunghezza. Le tre linee esemplificative rosse indicano tre diverse decadi:
- una tra 1 k e 10 k
- una tra 10 k e 100 k
- una tra 30 k e 300 k
Il grafico mostra tre decadi complete più una metà circa sulla destra (ed una parte molto piccola sulla sinistra)
L'intervallo tra un valore e il suo doppio viene indicato come ottava. Tutte le ottave hanno uguale dimensione. Le tre linee esemplificative verdi indicano tre diverse ottave:
- una tra 100 e 200
- una tra 200 e 400
- una tra 4 k e 8 k
Il termine ottava ha lo stesso significato dell'ottava in ambito musicale (i vari sol della scala hanno uno frequenza doppia del precedente). Questo vale in tutte le culture, a riprova della rappresentazione naturale delle grandezze con scale logaritmiche.
Non esiste lo zero. Volendo lo si può però immaginare all'estrema sinistra, molto al di là del lato sinistro del monitor
Non esiste l'asse verticale semplicemente perché l'origine non è rappresentabile

Tipicamente gli assi logaritmici sono usati per rappresentare le frequenze.

Unità logaritmiche

Spesso le grandezze elettriche vengono espresse in unità logaritmiche. Le unità più utilizzate sono relative a tensioni e potenze.

dBV

I dBV misurano una tensione su scala logaritmica. Sono definiti come V_dBV = 20 · log₁₀ |V_V|. Esempi:

Una tensione di 10 V coincide con una tensione di 20 · log₁₀ |10| = 20 dBV
Una tensione di 1 V coincide con una tensione di 20 · log₁₀ |1| = 0 dBV
Una tensione di 0,1 V coincide con una tensione di 20 · log₁₀ |0,1| = -20 dBV

dBu

I dBu misurano una tensione su scala logaritmica. sono definiti come V_dBu = 20 · log₁₀ |V_µV|. Esempi:

Una tensione di 10 µV coincide con una tensione di 20 · log₁₀ |10| = 20 dBu
Una tensione di 1 µV coincide con una tensione di 20 · log₁₀ |1| = 0 dBu
Una tensione di 0,1 µV coincide con una tensione di 20 · log₁₀ |0,1| = -20 dBu

dBW

I dBW misurano una potenza su scala logaritmica. sono definiti come P_dBW = 10 · log₁₀ |P_W| (nota 1). Esempi:

Una potenza di 10 W coincide con una tensione di 10 · log₁₀ |10| = 10 dBW
Una potenza di 1 W coincide con una tensione di 10 · log₁₀ |1| = 0 dBW
Una potenza di 0,1 W coincide con una tensione di 10 · log₁₀ |0,1| = -10 dBW

dBm

I dBm misurano una potenza su scala logaritmica. sono definiti come P_dBm = 10 · log₁₀ |P_mW| (nota 1). Esempi:

Una potenza di 10 mW coincide con una tensione di 10 · log₁₀ |10| = 10 dBm
Una potenza di 1 mW coincide con una tensione di 10 · log₁₀ |1| = 0 dBm
Una potenza di 0,1 mW coincide con una tensione di 10 · log₁₀ |0,1| = -10 dBm

Guadagno e decibel

Un quadripolo possiede un morsetto di ingresso ed uno di uscita. Si definisce guadagno G il modulo del rapporto tra una grandezza di ingresso ed una di uscita.

Per esempio il guadagno di tensione è definito come G_V = | V_OUT / V_IN |.

Analogamente il guadagno di potenza è definito come G_P = | P_OUT / P_IN |.

Il guadagno è evidentemente adimensionale.

Il decibel (simbolo dB) è una unità logaritmica per misurare il modulo del guadagno. In ambito elettronico è definito in due modi diversi a seconda delle due grandezza di ingresso e di uscita.

Se ingresso e uscita sono entrambe tensioni, il guadagno in dB è definito come:

G(dB) per le tensioni

Se ingresso e uscita sono entrambe potenze, il guadagno in dB è definito come (nota 1):

G (dB) per potenze

Osservazioni:

i dB non sono una unità di misura, ma un numero puro
i dB seguono ovviamente le regole della matematica dei logaritmi. Per esempio se si sommano vuol dire che le quantità sono moltiplicate
Il modulo del guadagno è per definizione positivo ma se lo esprimo in dB può diventare negativo
Se il guadagno in dB è positivo significa che la tensione di uscita è maggiore di quella di ingresso
Se il guadagno in dB è negativo significa che la tensione di uscita è minore di quella di ingresso

Infine, per le note proprietà dei logaritmi che trasformano i prodotti in somme e i rapporti in differenze possiamo scrivere le seguenti relazioni:

G_dB = V_out[dBu] - V_in[dBu]
P_out[dBm] = P_in[dBm] + G_dB

Grafici semilogaritmici

Il guadagno di un circuito in genere non è costante, ma dipende dalla frequenza. Questo legame lo si rappresenta con un grafico con le seguenti caratteristiche:

L'asse orizzontale riporta la frequenza, usando un asse logaritmico spesso esteso su diverse decadi
L'asse verticale riporta il guadagno in dB oppure la tensione o la potenza di uscita (in dBV oppure dBW). In genere un quadretto viene fatto corrispondere a 20 dB oppure 10 dB
L'origine non può essere "ovviamente" disegnata

Il diagramma appare per esempio come in figura:

Grafico semilogaritmico

Potete scaricare un file contenete:

la griglia di Bode in formato PDF estesa su cinque decadi
la griglia di Bode in formato ODS facilmente modificabile per adattarla alle proprie esigenze

Note

Il motivo deriva dal fatto che la potenza è, nel caso di carico resistivi, pari alla tensione al quadrato. Per le proprietà dei logaritmi ciò corrisponde al moltiplicare per due.

Pagina creata nel gennaio 2013. Ultima modifica: 3 novembre 2020