Unità logaritmiche

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Spesso nella definizione di grandezze elettroniche (e non solo) vengono usati i logaritmi, normalmente in base 10.

Qualche ragione di questa scelta:

Asse logaritmico

Un asse con scala logaritmico appare come in figura, disegnato con tratti neri:

Asse logaritmico

Nell'ambito delle tecnologie elettroniche gli assi logaritmici sono usati per rappresentare le frequenze.

Unità logaritmiche

Spesso le grandezze elettriche vengono espresse in unità logaritmiche (nota 9).

Le unità più utilizzate sono relative a tensioni e potenze.

dBV

I dBV misurano una tensione su scala logaritmica. Sono definiti come VdBV = 20 · log10 |VV| (nota 7).

Esempi:

Attività: utilizzare le formule inverse per verificare i precedenti esempi.

dBu

I dBu (o anche dBµ) misurano una tensione su scala logaritmica; sebbene ampiamente utilizzate in alcuni ambiti, in queste pagine non troverete nessuna applicazione che ne faccia uso.

Sono definiti come VdBu = 20 · log10 |VµV| (nota 7).

Esempi:

Attività: utilizzare le formule inverse per verificare i precedenti esempi.

dBm

I dBm misurano una potenza su scala logaritmica. sono definiti come PdBm = 10 · log10 |PmW| (nota 1 e nota 8).

I dBm sono l'unità di misura più usata nell'ambito delle telecomunicazioni.

Esempi:

dBW

I dBW misurano una potenza su scala logaritmica; sebbene ampiamente utilizzate in alcuni ambiti, in queste pagine non troverete nessuna applicazione che ne faccia uso.

Sono definiti come PdBW = 10 · log10 |PW| (nota 1 e nota 8).

Esempi:

Per i dBW valgono le stesse osservazioni riportate più avanti in merito ai dBm

Attività: utilizzare le formule inverse per verificare i precedenti esempi.

Alcune osservazione che, pur essendo già contenute nelle formule matematiche, sono utili nelle applicazioni:

Attività 1

Utilizzare le formule inverse per verificare i precedenti esempi.

Guadagno e decibel

Un quadripolo possiede un morsetto di ingresso ed uno di uscita. Si definisce guadagno G il rapporto tra una grandezza di ingresso ed una di uscita.

Per esempio il guadagno di tensione è definito come:

GV = VO / VI

Normalmente si utilizza il valore efficace della tensione, per definizione sempre positivo; di conseguenza anche il guadagno è positivo. Se il guadagno di tensione è maggiore di uno, evidentemente la tensione di uscita è, in modulo, maggiore di quella di ingresso.

Analogamente, il guadagno di potenza è definito come:

GP = PO / PI

La potenza da utilizzare è quella media; anche in questo caso il guadagno è sempre positivo. Se il guadagno di potenza è maggiore di uno, evidentemente la potenza media di uscita è maggiore di quella di ingresso.

Il guadagno di tensione e quello di potenza sono evidentemente adimensionali (numeri puri, senza unità di misura).

Il decibel (simbolo dB) è una unità logaritmica per misurare il modulo del guadagno. In ambito elettronico è definito in due modi diversi a seconda delle due grandezza di ingresso e di uscita.

Se ingresso e uscita sono entrambe tensioni, il guadagno in decibel è definito come:

GdB = 20 · log GV = 20 · log ( VO / VI )

Per le note proprietà dei logaritmi (prodotti e divisioni che divengono somme e sottrazioni) possiamo scrivere la seguente relazione usando esclusivamente unità logaritmiche (nota 4):

GdB = VO [dBV] - VI [dBV]  

Se ingresso e uscita sono entrambe potenze, il guadagno in decibel è definito come (nota 1):

GdB = 10 · log GP = 10 · log ( PO / PI )

Per le note proprietà dei logaritmi (prodotti e divisioni che divengono somme e sottrazioni) possiamo scrivere la seguente relazione usando esclusivamente unità logaritmiche (nota 4):

GdB = PO [dBm] - PI [dBm]

Osservazioni:

Esempio 2

La tensione di ingresso di un quadripolo vale 2 mV, quella in uscita 1 V. Tutte le resistenza di ingresso ed uscita al quadripolo sono uguali e pari a 50 Ω. Determinare il guadagno di tensione e di potenza, in unità lineari e logaritmiche.

Per quanto riguarda il guadagno di tensione, rispettivamente in unità lineari e logaritmiche:

GV = VOUT/VIN = 1 V / 0.002 V = 500

VIN = 20 log (0,002) = −54 dBV

VOUT = 20 log (1) = 0 dBV

GdB = VOUT - VIN = 0 dBV - (-54 dBV) = 54 dB

Osservazione: 20 log (500) = 54 dB

Per quanto riguarda il guadagno di potenza, rispettivamente in unità lineari e logaritmiche (nota 3) :

PIN = VIN2 / R = 0,000004 / 50 = 0,00000008 W = 0,00008 mW = -41 dBm

POUT = VOUT2 / R = 20 mW = 13 dBm

G= POUT / PIN = 20 mW / 0.00008 mW = 250 000

GdB = POUT - PIN = 13 dBm - (-41 dBm) = 54 dB

Osservazione 1: 10 log(250 000) = 54 dB

Osservazione 2: il guadagno di potenza e quello di tensione, se espressi in unità logaritmiche, coincidono numericamente e come "unità di misura" nelle condizioni date (quadripolo adattato).

Attenuazione

Viene definita attenuazione di tensioneV) il reciproco del guadagno di tensione:

αV = VI / VO = 1 / GV

Analogamente possiamo definire l'attenuazione di potenza:

αP = PI / PO = 1 / GP

Se si usano unità logaritmiche, l'attenuazione è l'opposto del guadagno (nota 6):

αdB = VI [dBV] - VO [dBV] = -GdB

αdB = PI [dBm] - PO [dBm] = -GdB

Guadagno e attenuazione sono in astratto intercambiabili, ma si preferisce usare l'attenuazione quando la potenza di uscita è minore di quella di ingresso.

Esempio 3

La tensione di ingresso di un quadripolo vale 2 V, quella in uscita 1 V. Tutte le resistenza di ingresso ed uscita al quadripolo sono uguali e pari a 50 Ω. Determinare l'attenuazione di tensione e di potenza, in unità lineari e logaritmiche.

Per quanto riguarda l'attenuazione di tensione, rispettivamente in unità lineari e logaritmiche:

αV = VIN/VOUT = 2 V / 1 V = 2 (adimensionale!)

VIN = 20 log (2) = 6 dBV

VOUT = 20 log (1) = 0 dBV

αdB = VIN - VOUT = 6 dBV - 0 dBV = 6 dB

Osservazione: 20 log (2) = 6 dB

Per quanto riguarda l'attenuazione di potenza, rispettivamente in unità lineari e logaritmiche:

PIN = VIN2 / R = 80 mW = 19 dBm (nota 5)

POUT = VOUT2 / R = 20 mW = 13 dBm

α= PIN / POUT = 4 (adimensionale!)

αdB = PIN - POUT = 19 - 13 = 6 dB

Osservazione 1: 10 log(4) = 6 dB

Osservazione 2: l'attenuazione di potenza e quella di tensione, se espresse in unità logaritmiche, coincidono numericamente e come "unità di misura" nelle condizioni date (quadripolo adattato).

Attività 4

Con i dati dell'esempio 3, calcolare i guadagni e verificare la relazione con le attenuazioni, sia con unità lineari che logaritmiche.

Attività 5

Un amplificatore d'antenna adattato sia in ingresso che in uscita ha guadagno pari a 60 dB. Determinare quanto vale la potenza di uscita se la potenza in ingresso è pari a -70 dBm.

Attività 6

Di seguito sono mostrate l'uscita (in rosso) e l'ingresso (in verde) di un quadripolo.

Due sinusoidi

Determinare:

Grafici semilogaritmici

Il guadagno di un circuito in genere non è costante, ma dipende dalla frequenza. Questo legame lo si rappresenta con un grafico con le seguenti caratteristiche:

Il diagramma appare per esempio come in figura:

Grafico semilogaritmico

Potete scaricare un file contenete:

Note

  1. Il motivo del cambiamento di 20 in 10 nella formula deriva dal fatto che la potenza è, nel caso di carico resistivi, pari alla tensione al quadrato. Per le proprietà dei logaritmi ciò corrisponde al moltiplicare per due.

  2. Si noti l'uso del dB (e non, per esempio, del dBV o del dBm) per indicare le differenze tra le grandezze logaritmiche

  3. Il non utilizzo della notazione esponenziale (cosa in genere assolutamente negativa!) è solo per evidenziare perché, in molte applicazioni, si preferiscono di gran lunga le unità logaritmiche

  4. In queste equazioni, ad uno sguardo superficiale, sembrano violate le regole del calcolo dimensionale. Non si tratta di un errore! La cosa si spiega considerando che le grandezze sono logaritmiche e che quindi somme e differenze sono in realtà prodotti e rapporti. Inoltre i decibel sono numeri puri

  5. Formula valida solo per tensioni e potenze espresse in unità lineari

  6. Il guadagno di tensione espresso in unità logaritmiche coincide numericamente con quello di potenza solo se tutte le impedenze di ingresso ed uscita sono uguali tra di loro, cioè se il sistema è adattato. La stessa considerazione vale anche per le attenuazioni. La condizione di adattamento di impedenza è tipica degli apparati di telecomunicazione, ma non dei circuiti elettronici in generale

  7. Queste definizioni sono operativamente comode, ma imprecise dal punto di vista formale. Andrebbero scritte come VdBV = 20 · log10 |VV / 1 V| oppure VdBu = 20 · log10 |VV / 1 µV|

  8. Queste definizioni sono operativamente comode, ma imprecise dal punto di vista formale. Andrebbero scritte come PdBm = 10 · log10 |PW / 1 mW| oppure PdBW = 10 · log10 |PW / 1 W|

  9. Quando non specificato si sottendente che la base del logaritmo è 10, cioè log10(x).


Pagina creata nel gennaio 2013
Ultima modifica: 2 dicembre 2021


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