Unità logaritmiche

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Spesso nella definizione di grandezze elettriche (e non solo) vengono usati i logaritmi, normalmente in base 10. Nei sistemi di telecomunicazioni, questa è quasi la regola.

Qualche ragione di questa scelta:

Molte grandezze sono percepite dai nostri sensi con scala logaritmica. Per esempio l'intensità dei suoni e della luce; oppure le frequenze delle note musicali (per questo l'immagine di apertura è una tastiera); usare scale logaritmiche è quindi la scelta naturale
Con i logaritmi è possibile rappresentare sullo stesso grafico grandezze molto grandi e molto piccole
In molti casi la rappresentazione grafica di una legge fisica è costituita da rette se le grandezze coinvolte sono rappresentate con unità logaritmiche. La stessa legge rappresentata con unità di misura lineari appare invece come un insieme di curve, più complesse da comprendere ed utilizzare
(ragione storica, ma ancora comoda quando non si dispone di una calcolatrice) l'uso dei logaritmi semplifica l'esecuzione di moltiplicati e divisioni che diventano somme e sottrazioni

Asse logaritmico

Un asse con scala logaritmica (nota 10) appare come in figura, disegnato con tratti neri:

Asse logaritmico

I numeri in rosso indicano le potenze di 10. La linea corrispondente in genere è disegnata continua
I numeri in verde indicano i valori intermedi. In genere non sono indicati perché... semplicemente non abbiamo abbastanza spazio per scriverli tutti. La linea corrispondente in genere è disegnata tratteggiata.
L'intervallo tra un numero e quello 10 volte più grande è chiamato decade. Tutte le decadi hanno la stessa lunghezza. Le tre linee esemplificative rosse indicano tre diverse decadi:
- una tra 100 e 1 k
- una tra 1 k e 10 k
- una tra 30 k e 300 k
Il grafico mostra tre decadi complete più una metà circa sulla destra (ed una parte molto piccola sulla sinistra)
L'intervallo tra un valore e il suo doppio viene indicato come ottava. Tutte le ottave hanno uguale dimensione. Le tre linee esemplificative verdi indicano tre diverse ottave:
- una tra 100 e 200
- una tra 200 e 400
- una tra 4 k e 8 k
Non esiste lo zero. Volendo lo si può però immaginare all'estrema sinistra, molto al di là del lato sinistro del monitor
Non esiste l'asse verticale semplicemente perché l'origine non è rappresentabile

Nell'ambito delle tecnologie elettroniche gli assi logaritmici sono spesso usati per rappresentare le frequenze, ma si trovano anche per tensioni, potenze o tempi.

Decibel

Spesso le grandezze elettriche vengono espresse in unità logaritmiche (nota 9), utilizzando il decibel (dB) ed altre unità da esso derivate.

Il dB è la decima parte del bel (nota 11) e misura su scala logaritmica il rapporto fra due potenze. In generale può essere definito come:

R_dB = 10 · log ( P₁ / P₂ )

Le unità qui descritte sono relative a tensioni e potenze e non verrà per esempio illustrato come sono utilizzate nella misura della pressione acustica.

Unità logaritmiche assolute

Il valore ottenuto da un logaritmo è, per definizione, adimensionale, ma, scegliendo opportunamente la potenza P₂ al denominatore può esprimere un valore assoluto.

dBm

Il dBm (o, più correttamente dal punto di vista formale, dBmW) misura la potenza su scala logaritmica; è definito come

P_dBm = 10 · log₁₀ |P_W / 1 mW|

oppure, in modo poco rigoroso, ma comodo, come P_dBm = 10 · log₁₀ |P_mW| .

Il dBm è l'unità di misura più usata nell'ambito delle telecomunicazioni per esprimere le potenze.

Esempi:

Una potenza di 10 mW coincide con una potenza di 10 · log₁₀ |10| = 10 dBm
Una potenza di 1 mW coincide con una potenza di 10 · log₁₀ |1| = 0 dBm
Una potenza di 0,1 mW coincide con una potenza di 10 · log₁₀ |0,1| = -10 dBm
Una potenza di 0,5 mW coincide con una potenza di 10 · log₁₁₀ |0,5| = -3 dBm
Una potenza di 7 dBm coincide con una potenza di 10^(7/10) = 5 mW
Una potenza di 3 dBm coincide con una potenza di 10^(3/10) = 2 mW

dBW

I dBW misurano la potenza su scala logaritmica; sebbene ampiamente utilizzate in alcuni ambiti, in queste pagine non troverete molte applicazioni che ne fanno uso.

Sono definiti (nota 8) come

P_dBW = 10 · log₁₀ |P_W|

Esempi:

Una potenza di 10 W coincide con una potenza di 10 · log₁₁₀ |10| = 10 dBW
Una potenza di 1 W coincide con una potenza di 10 · log₁₀ |1| = 0 dBW
Una potenza di 0,1 W coincide con una potenza di 10 · log₁₀ |0,1| = -10 dBW
Una potenza di 0,2 W coincide con una potenza di 10 · log₁₀ |0,2| = -7 dBW
Una potenza di 3 dBW coincide con una potenza di 10^(3/10) = 5 W

Per i dBW valgono le stesse osservazioni riportate più avanti in merito ai dBm

Attività: utilizzare le formule inverse per verificare i precedenti esempi.

Alcune osservazione che, pur essendo già contenute nelle formule matematiche, sono utili nelle applicazioni:

Se raddoppia la potenza espressa in watt, quella espressa in unità logaritmiche aumenta di 3 dB (nota 2)
Se la potenza espressa in watt aumenta di 10 o 100 volte, quella espressa in unità logaritmiche aumenta di 10 o 20 dB (nota 2)
Una potenza "negativa" espressa in dBm indica una potenza minore di 1 mW, ma sempre maggiore di zero.

dBV

Ricordando che la potenza può essere calcolata a partire dalla tensione al quadrato, è possibile un utilizzo anche con le tensioni (nota 1).

II dBV misura la tensione su scala logaritmica; è definito (nota 7) come;

V_dBV = 20 · log₁₀ |V_V|

Esempi:

Una tensione di 10 V coincide con una tensione di 20 · log₁₀ |10| = 20 dBV
Una tensione di 1 V coincide con una tensione di 20 · log₁₀ |1| = 0 dBV
Una tensione di 0,1 V coincide con una tensione di 20 · log₁₀ |0,1| = -20 dBV
Una tensione di -0,5 V coincide con una tensione di 20 · log₁₀ |-0,5| = -6 dBV
Una tensione di 0,5 V coincide con una tensione di 20 · log₁₀ |0,5| = -6 dBV
Una tensione di 6 dBV coincide con una tensione di 10^(6/20) = 2 V
Una tensione di -3 dBV coincide con una tensione di 10^(-3/20) = 0,707 V

Attività: utilizzare le formule inverse per verificare i precedenti esempi.

dBµV

Il dBµV (a volte anche dBµ) misura la tensione su scala logaritmica; sebbene ampiamente utilizzato in alcuni ambiti, in queste pagine non troverete molte applicazioni che ne fanno uso.

Viene definito come

VdBµV = 20 · log₁₀ |V_V / 1 µV|

oppure, in modo poco rigoroso, ma comodo, come VdBµV = 20 · log₁₀ |V_µV|.

Esempi:

Una tensione di 10 µV coincide con una tensione di 20 · log₁₀ |10| = 20 dBµV
Una tensione di 1 µV coincide con una tensione di 20 · log₁₀ |1| = 0 dBµV
Una tensione di 0,1 µV coincide con una tensione di 20 · log₁₀ |0,1| = -20 dBµV
Una tensione di 0,2 µV coincide con una tensione di 20 · log₁₀ |0,2| = -14 dBµV
Una tensione di 14 dBµV coincide con una tensione di 10^(14/20) = 5 µV

Attività: utilizzare le formule inverse per verificare i precedenti esempi.

dBu

Il dBu misura la tensione efficace su scala logaritmica; sebbene ampiamente utilizzato, in particolare in campo audio, in queste pagine non troverete molte applicazioni che ne fanno uso.

Viene definito come

VdBu = 20 · log₁₀ |V_V / 0,77 V|

Esempi:

Una tensione di 1 V coincide con una tensione di 20 · log₁₀ |1/0,77| = 2,2 dBu
Una tensione di 3 V coincide con una tensione di 20 · log₁₀ |3/0,77| = 8.24 dBu
Una tensione di 100 mV coincide con una tensione di 20 · log₁₀ |0,1/0,77| = -17.8 dBu

Attività 1

Utilizzare le formule inverse per verificare tutti i precedenti esempi.

Guadagno e decibel

Il decibel è l'unità logaritmica per misurare il guadagno di un quadripolo.

Se ingresso e uscita sono entrambe potenze, il guadagno in decibel è definito come (nota 1):

G_dB = 10 · log ( P_O / P_I )

Per le proprietà dei logaritmi possiamo scrivere la seguente relazione usando esclusivamente unità logaritmiche (nota 4):

G_dB = P_O [dBm] - P_I [dBm]

Se ingresso e uscita sono entrambe tensioni, il guadagno in decibel è definito come:

G_dB = 20 · log ( V_O / V_I )

Per le proprietà dei logaritmi (prodotti e divisioni che divengono somme e sottrazioni) possiamo scrivere la seguente relazione usando esclusivamente unità logaritmiche (nota 4):

G_dB = V_{O [dBV]} - V_{I [dBV]}

Osservazioni:

i dB non sono una unità di misura propriamente detta, ma un numero puro. Se il guadagno è espresso in unità logaritmiche è però necessario indicarlo esplicitamente, per evitare errori di interpretazione
i dB seguono ovviamente le regole della matematica dei logaritmi. Per esempio se si sommano vuol dire che le quantità lineari sono moltiplicate
il modulo del guadagno è, per definizione, positivo, ma se lo esprimiamo in decibel diventa negativo quando è minore di 1
se il guadagno in decibel è positivo significa che la tensione di uscita è maggiore di quella di ingresso
se il guadagno in decibel è negativo significa che la tensione di uscita è minore di quella di ingresso
quando espresso in unità logaritmiche il guadagno di tensione coincide numericamente con quello di potenza (nota 6)

Esempio 2

La tensione efficace (spesso sottointeso) in ingresso ad un quadripolo vale 2 mV, quella in uscita 1 V, sempre efficace. Tutte le resistenza di ingresso ed uscita al quadripolo sono uguali e pari a 50 Ω. Determinare il guadagno di tensione e di potenza, in unità lineari e logaritmiche.

Per quanto riguarda il guadagno di tensione, rispettivamente in unità lineari e logaritmiche:

G_V = V_OUT/V_IN = 1 V / 0.002 V = 500

V_IN = 20 log (0,002) = −54 dBV

V_OUT = 20 log (1) = 0 dBV

G_dB = V_OUT- V_IN = 0 dBV - (-54 dBV) = 54 dB

Osservazione: 20 log (500) = 54 dB

Per quanto riguarda il guadagno di potenza, rispettivamente in unità lineari e logaritmiche (nota 3) :

P_IN = V_IN² / R = 0,000004 / 50 = 0,00000008 W = 0,00008 mW = -41 dBm

P_OUT = V_OUT² / R = 20 mW = 13 dBm

G_P= P_OUT / P_IN = 20 mW / 0.00008 mW = 250 000

G_dB= P_OUT - P_IN = 13 dBm - (-41 dBm) = 54 dB

Osservazione 1: 10 log(250 000) = 54 dB

Osservazione 2: il guadagno di potenza e quello di tensione, se espressi in unità logaritmiche, coincidono numericamente e come "unità di misura" nelle condizioni date (quadripolo adattato).

Attenuazione

L'attenuazione è l'inverso del guadagno. Qui una spiegazione dettagliata.

Se si usano unità logaritmiche, l'attenuazione è l'opposto del guadagno (nota 6):

αα_dB = V_{I [dBV]} - V_{O [dBV]} = -G_dB

α_dB = P_{I [dBm]} - P_{O [dBm]} = -G_dB

Quadripoli in cascata

Spesso più quadripoli sono collegati in cascata.

Il guadagno complessivo (in dB) è pari alla somma dei singoli guadagni (sempre in dB).

G_dB = G1_dB + G2_dB + G3_dB...

Se per alcuni quadripoli è data l'attenuazione, questa va sottratta:

G_dB = G1_dB - α2_dB + G3_dB...

Esempio 3

La tensione di ingresso di un quadripolo vale 2 V, quella in uscita 1 V. Tutte le resistenza di ingresso ed uscita al quadripolo sono uguali e pari a 50 Ω. Determinare l'attenuazione di tensione e di potenza, in unità lineari e logaritmiche.

Per quanto riguarda l'attenuazione di tensione, rispettivamente in unità lineari e logaritmiche:

α_V = V_IN/V_OUT = 2 V / 1 V = 2 (adimensionale!)

V_IN = 20 log (2) = 6 dBV

V_OUT = 20 log (1) = 0 dBV

α_dB = V_IN- V_OUT = 6 dBV - 0 dBV = 6 dB

Osservazione: 20 log (2) = 6 dB

Per quanto riguarda l'attenuazione di potenza, rispettivamente in unità lineari e logaritmiche:

P_IN = V_IN² / R = 80 mW = 19 dBm (nota 5)

P_OUT = V_OUT² / R = 20 mW = 13 dBm

α_P= P_IN / P_OUT = 4 (adimensionale!)

α_dB= P_IN - P_OUT = 19 - 13 = 6 dB

Osservazione 1: 10 log(4) = 6 dB

Osservazione 2: l'attenuazione di potenza e quella di tensione, se espresse in unità logaritmiche, coincidono numericamente e come "unità di misura" nelle condizioni date (quadripolo adattato).

Grafici semilogaritmici

Questi grafici sono utilizzati per rappresentare:

Lo spettro di un segnale
Il guadagno di un quadripolo, nel caso in cui dipende dalla frequenza

Un grafico è detto semilogaritmico se:

L'asse orizzontale riporta la frequenza, usando un asse logaritmico esteso su diverse decadi, cinque nell'esempio mostrato, da 10 Hz a 1 MHz.
L'asse verticale riporta il guadagno in dB oppure la tensione in dBV oppure la potenza in dBm (nell'esempio seguente, da 0 dBm a -60 dBm).

Grafico semilogaritmico

Potete scaricare un file contenete:

la griglia di Bode in formato PDF estesa su cinque decadi
la griglia di Bode in formato ODS facilmente modificabile per adattarla alle proprie esigenze

Come spesso avviene, i grafici sono "in bianco", sia per quanto riguarda i numeri che le unità di misura, e devono essere completati in base alla situazione concreta.

Esempio 4

Un segnale è somma di tre sinusoidi con frequenza 100 Hz, 2 000 Hz e 50 kHz. La potenza è, rispettivamente, 10^-4 W, 10 µW e 1 mW.

Di seguito lo spettro su un grafico semilogaritmico, ottenuto dopo aver trasformato le tre potenze nelle equivalenti unità logaritmiche:

Spettro su grafico semilogaritmico

La scelta dai valori minimi e massimi da riportare sugli assi dipende ovviamente dal segnale rappresentato. Non esistono regole, se non il buon senso; per esempio anche la rappresentazione seguente è corretta (e migliore).

Spettro su grafico semilogaritmico

Da evitare invece grafici che rappresentano le linee troppo vicino ai bordi, in quanto di più difficile lettura. Per esempio, sempre in riferimento all'esempio, è bene evitare di scegliere come frequenza minima 100 Hz o come potenza minima -20 dBm.

Esempio 5

Il seguente grafico ottenuto sperimentalmente mostra il guadagno di un circuito in funzione della frequenza.

Amplificatore operazionale reale: guafagno in anello aperto vs frequenza

Non inventare formule!

Alcune formule di uso comune non sono utilizzabili quando le grandezze sono espresse in unità logaritmiche. Tre casi importanti:

Per le sinusoidi: V_RMS[V] = V_P[V] / √2, ma V_RMS[dBV] ≠ V_P[dBV] / √2
Per i resistori: P[W] = V_RMS²[V] / R,, ma P[dBm] ≠ V_RMS²[dBV] / R
Il teorema di Parseval non è utilizzabile se le potenze sono espresse in dBm

Il motivo deriva direttamente dalle proprietà dei logaritmi ed in particolare dal fatto che prodotti e rapporti tra grandezze lineari diventano somme e differenze usando grandezze logaritmiche.

Note

Il motivo del cambiamento di 20 in 10 nella formula deriva dal fatto che la potenza è, nel caso di carico resistivi, pari alla tensione al quadrato. Per le proprietà dei logaritmi ciò corrisponde al moltiplicare per due.
Si noti l'uso del dB (e non, per esempio, del dBV o del dBm) per indicare le differenze tra le grandezze logaritmiche
Il non utilizzo della notazione esponenziale (cosa in genere assolutamente negativa!) è solo per evidenziare perché, in molte applicazioni, si preferiscono di gran lunga le unità logaritmiche
In queste equazioni, ad uno sguardo superficiale, sembrano violate le regole del calcolo dimensionale. Non si tratta di un errore! La cosa si spiega considerando che le grandezze sono logaritmiche e che quindi somme e differenze sono in realtà prodotti e rapporti. Inoltre i decibel sono, a ben guardare, numeri puri
Formula valida solo per tensioni e potenze espresse in unità lineari
Il guadagno di tensione espresso in unità logaritmiche coincide numericamente con quello di potenza solo se se il sistema è adattato. La stessa considerazione vale anche per le attenuazioni. La condizione di adattamento di impedenza è tipica degli apparati di telecomunicazione, ma non dei circuiti elettronici in generale
Questa definizione è operativamente comoda, ma imprecisa dal punto di vista formale. Andrebbe scritta come
V_dBV = 20 · log₁₀|V_V / 1 V|
Questa definizione è operativamente comoda, ma imprecisa dal punto di vista formale. Andrebbe scritta come
P_dBW = 10 · log₁₀ |P_W / 1 W|
Quando non specificato si sottendente che la base del logaritmo è 10, cioè log₁₀((x)
Non sono indicate le unità di misura in quanto si tratta di considerazioni valide per qualunque unità di misura ed anche per i numeri puri
Da Alexander Graham Bell, inventore del telefono

Pagina creata nel gennaio 2013
Ultima modifica: 23 settembre 2024