Unità logaritmiche

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Spesso nella definizione di grandezze elettriche (e non solo) vengono usati i logaritmi, normalmente in base 10.

Nei sistemi di telecomunicazioni, questa è la regola generale.

Qualche ragione di questa scelta:

Molte grandezze sono percepite dai nostri sensi con scala logaritmica. Per esempio l'intensità dei suoni e della luce oppure le frequenze (scala musicale, per questo l'immagine di apertura è una tastiera); usare scale logaritmiche è quindi la scelta naturale
Con i logaritmi è possibile rappresentare sullo stesso grafico grandezze molto grandi e molto piccole
In molti casi la rappresentazione grafica di una legge fisica è costituita da rette se le grandezze coinvolte sono rappresentate con unità logaritmiche. La stessa legge rappresentata con unità di misura lineari appare invece come un insieme di curve, più complesse da comprendere ed utilizzare
(ragione storica, ma ancora comoda quando non si dispone di una calcolatrice) l'uso dei logaritmi semplifica l'esecuzione di moltiplicati e divisioni che diventano somme e sottrazioni

Asse logaritmico

Un asse con scala logaritmico appare come in figura, disegnato con tratti neri:

Asse logaritmico

I numeri in rosso indicano le potenze di 10. La linea corrispondente in genere è disegnata continua
I numeri in verde indicano i valori intermedi. In genere non sono indicati perché... semplicemente non abbiamo abbastanza spazio per scriverli tutti. La linea corrispondente in genere è disegnata tratteggiata.
L'intervallo tra un numero e quello 10 volte più grande è chiamato decade. Tutte le decadi hanno la stessa lunghezza. Le tre linee esemplificative rosse indicano tre diverse decadi:
- una tra 1 k e 10 k
- una tra 10 k e 100 k
- una tra 30 k e 300 k
Il grafico mostra tre decadi complete più una metà circa sulla destra (ed una parte molto piccola sulla sinistra)
L'intervallo tra un valore e il suo doppio viene indicato come ottava. Tutte le ottave hanno uguale dimensione. Le tre linee esemplificative verdi indicano tre diverse ottave:
- una tra 100 e 200
- una tra 200 e 400
- una tra 4 k e 8 k
Il termine ottava ha lo stesso significato dell'ottava in ambito musicale (i vari sol della scala hanno uno frequenza doppia del precedente). Questo vale in tutte le culture, a riprova della rappresentazione naturale delle grandezze con scale logaritmiche.
Non esiste lo zero. Volendo lo si può però immaginare all'estrema sinistra, molto al di là del lato sinistro del monitor
Non esiste l'asse verticale semplicemente perché l'origine non è rappresentabile

Nell'ambito delle tecnologie elettroniche gli assi logaritmici sono usati per rappresentare le frequenze.

Unità logaritmiche

Spesso le grandezze elettriche vengono espresse in unità logaritmiche (nota 9).

Le unità più utilizzate sono relative a tensioni e potenze.

dBV

I dBV misurano una tensione su scala logaritmica. Sono definiti come V_dBV = 20 · log₁₀ |V_V| (nota 7).

Esempi:

Una tensione di 10 V coincide con una tensione di 20 · log₁₀ |10| = 20 dBV
Una tensione di 1 V coincide con una tensione di 20 · log₁₀ |1| = 0 dBV
Una tensione di 0,1 V coincide con una tensione di 20 · log₁₀ |0,1| = -20 dBV
Una tensione di -0,5 V coincide con una tensione di 20 · log₁₀ |-0,5| = -6 dBV
Una tensione di 0,5 V coincide con una tensione di 20 · log₁₀ |0,5| = -6 dBV
Una tensione di 6 dBV coincide con una tensione di 10^(6/20) = 2 V
Una tensione di -3 dBV coincide con una tensione di 10^(-3/20) = 0,707 V

Attività: utilizzare le formule inverse per verificare i precedenti esempi.

[Approfondimento] dBu

I dBu (o anche dBµ) misurano una tensione su scala logaritmica; sebbene ampiamente utilizzate in alcuni ambiti, in queste pagine non troverete nessuna applicazione che ne faccia uso.

Sono definiti come V_dBu = 20 · log₁₀ |V_µV| (nota 7).

Esempi:

Una tensione di 10 µV coincide con una tensione di 20 · log₁₀ |10| = 20 dBu
Una tensione di 1 µV coincide con una tensione di 20 · log₁₀ |1| = 0 dBu
Una tensione di 0,1 µV coincide con una tensione di 20 · log₁₀ |0,1| = -20 dBu
Una tensione di 0,2 µV coincide con una tensione di 20 · log₁₀ |0,2| = -14 dBu
Una tensione di 14 dBu coincide con una tensione di 10^(14/20) = 5 µV

Attività: utilizzare le formule inverse per verificare i precedenti esempi.

dBm

I dBm misurano una potenza su scala logaritmica. sono definiti come P_dBm = 10 · log₁₀ |P_mW| (nota 1 e nota 8).

I dBm sono l'unità di misura più usata nell'ambito delle telecomunicazioni.

Esempi:

Una potenza di 10 mW coincide con una potenza di 10 · log₁₀ |10| = 10 dBm
Una potenza di 1 mW coincide con una potenza di 10 · log₁₀ |1| = 0 dBm
Una potenza di 0,1 mW coincide con una potenza di 10 · log₁₀ |0,1| = -10 dBm
Una potenza di 0,5 mW coincide con una potenza di 10 · log₁₀ |0,5| = -3 dBm
Una potenza di 7 dBm coincide con una potenza di 10^(7/10) = 5 mW
Una potenza di 3 dBm coincide con una potenza di 10^(3/10) = 2 mW

[Approfondimento] dBW

I dBW misurano una potenza su scala logaritmica; sebbene ampiamente utilizzate in alcuni ambiti, in queste pagine non troverete nessuna applicazione che ne faccia uso.

Sono definiti come P_dBW = 10 · log₁₀ |P_W| (nota 1 e nota 8).

Esempi:

Una potenza di 10 W coincide con una potenza di 10 · log₁₀ |10| = 10 dBW
Una potenza di 1 W coincide con una potenza di 10 · log₁₀ |1| = 0 dBW
Una potenza di 0,1 W coincide con una potenza di 10 · log₁₀ |0,1| = -10 dBW
Una potenza di 0,2 W coincide con una potenza di 10 · log₁₀ |0,2| = -7 dBW
Una potenza di 3 dBW coincide con una potenza di 10^(3/10) = 5 W

Per i dBW valgono le stesse osservazioni riportate più avanti in merito ai dBm

Attività: utilizzare le formule inverse per verificare i precedenti esempi.

Alcune osservazione che, pur essendo già contenute nelle formule matematiche, sono utili nelle applicazioni:

Se raddoppia la potenza espressa in watt, quella espressa in unità logaritmiche aumenta di 3 dB (nota 2)
Se la potenza espressa in watt aumenta di 10 o 100 volte, quella espressa in unità logaritmiche aumenta di 10 o 20 dB (nota 2)
Per passare da una potenza espressa in milliwatt ad una espressa in watt occorre dividere per mille (ovviamente...)
Per passare da una potenza espressa in dBm ad una espressa in dBW occorre sottrarre 30 dB. Esempio: 20 dBm = -10 dBW (= 100 mW = 0,1 W)
Una potenza "negativa" espressa in dBm indica una potenza minore di 1 mW, ma sempre maggiore di zero.

Attività 1

Utilizzare le formule inverse per verificare i precedenti esempi.

Guadagno e decibel

Un quadripolo possiede un morsetto di ingresso ed uno di uscita. Si definisce guadagno G il rapporto tra una grandezza di ingresso ed una di uscita.

Per esempio il guadagno di tensione è definito come:

G_V = V_O / V_I

Normalmente si utilizza il valore efficace della tensione, per definizione sempre positivo; di conseguenza anche il guadagno è positivo (nota 10).

Se il modulo del guadagno di tensione è maggiore di uno, evidentemente la tensione di uscita è, in modulo, maggiore di quella di ingresso.

Analogamente, il guadagno di potenza è definito come:

G_P = P_O / P_I

La potenza da utilizzare è quella media; il guadagno di potenza è sempre positivo. Se il guadagno di potenza è maggiore di uno, evidentemente la potenza media di uscita è maggiore di quella di ingresso.

Il guadagno di tensione e quello di potenza sono evidentemente adimensionali (numeri puri, senza unità di misura).

Il decibel (simbolo dB) è una unità logaritmica per misurare il modulo del guadagno. In ambito elettronico è definito in due modi diversi a seconda delle due grandezza di ingresso e di uscita.

Se ingresso e uscita sono entrambe tensioni, il guadagno in decibel è definito come:

G_dB = 20 · log G_V = 20 · log ( V_O / V_I )

Per le note proprietà dei logaritmi (prodotti e divisioni che divengono somme e sottrazioni) possiamo scrivere la seguente relazione usando esclusivamente unità logaritmiche (nota 4):

G_dB = V_{O [dBV]} - V_{I [dBV]}

Se ingresso e uscita sono entrambe potenze, il guadagno in decibel è definito come (nota 1):

G_dB = 10 · log G_P = 10 · log ( P_O / P_I )

Per le note proprietà dei logaritmi (prodotti e divisioni che divengono somme e sottrazioni) possiamo scrivere la seguente relazione usando esclusivamente unità logaritmiche (nota 4):

G_dB = P_O [dBm] - P_I [dBm]

Osservazioni:

i dB non sono una unità di misura propriamente detta, ma un numero puro. Se il guadagno è espresso in unità logaritmiche è però necessario indicarlo esplicitamente, per evitare errori di interpretazione
i dB seguono ovviamente le regole della matematica dei logaritmi. Per esempio se si sommano vuol dire che le quantità lineari sono moltiplicate
il modulo del guadagno è, per definizione, positivo, ma se lo esprimiamo in decibel diventa negativo quando è minore di 1
se il guadagno in decibel è positivo significa che la tensione di uscita è maggiore di quella di ingresso
se il guadagno in decibel è negativo significa che la tensione di uscita è minore di quella di ingresso
quando espresso in unità logaritmiche il guadagno di tensione coincide numericamente con quello di potenza (nota 6)

Esempio 2

La tensione efficace (spesso sottointeso) in ingresso ad un quadripolo vale 2 mV, quella in uscita 1 V, sempre efficace. Tutte le resistenza di ingresso ed uscita al quadripolo sono uguali e pari a 50 Ω. Determinare il guadagno di tensione e di potenza, in unità lineari e logaritmiche.

Per quanto riguarda il guadagno di tensione, rispettivamente in unità lineari e logaritmiche:

G_V = V_OUT/V_IN = 1 V / 0.002 V = 500

V_IN = 20 log (0,002) = −54 dBV

V_OUT = 20 log (1) = 0 dBV

G_dB = V_OUT- V_IN = 0 dBV - (-54 dBV) = 54 dB

Osservazione: 20 log (500) = 54 dB

Per quanto riguarda il guadagno di potenza, rispettivamente in unità lineari e logaritmiche (nota 3) :

P_IN = V_IN² / R = 0,000004 / 50 = 0,00000008 W = 0,00008 mW = -41 dBm

P_OUT = V_OUT² / R = 20 mW = 13 dBm

G_P= P_OUT / P_IN = 20 mW / 0.00008 mW = 250 000

G_dB= P_OUT - P_IN = 13 dBm - (-41 dBm) = 54 dB

Osservazione 1: 10 log(250 000) = 54 dB

Osservazione 2: il guadagno di potenza e quello di tensione, se espressi in unità logaritmiche, coincidono numericamente e come "unità di misura" nelle condizioni date (quadripolo adattato).

Attenuazione

Viene definita attenuazione di tensione (α_V) il reciproco del guadagno di tensione:

α_V = V_I / V_O = 1 / G_V

Analogamente possiamo definire l'attenuazione di potenza:

α_P = P_I / P_O = 1 / G_P

Se si usano unità logaritmiche, l'attenuazione è l'opposto del guadagno (nota 6):

α_dB = V_{I [dBV]} - V_{O [dBV]} = -G_dB

α_dB = P_{I [dBm]} - P_{O [dBm]} = -G_dB

Guadagno e attenuazione sono in astratto intercambiabili, ma si preferisce usare l'attenuazione quando la potenza di uscita è minore di quella di ingresso.

Esempio 3

La tensione di ingresso di un quadripolo vale 2 V, quella in uscita 1 V. Tutte le resistenza di ingresso ed uscita al quadripolo sono uguali e pari a 50 Ω. Determinare l'attenuazione di tensione e di potenza, in unità lineari e logaritmiche.

Per quanto riguarda l'attenuazione di tensione, rispettivamente in unità lineari e logaritmiche:

α_V = V_IN/V_OUT = 2 V / 1 V = 2 (adimensionale!)

V_IN = 20 log (2) = 6 dBV

V_OUT = 20 log (1) = 0 dBV

α_dB = V_IN- V_OUT = 6 dBV - 0 dBV = 6 dB

Osservazione: 20 log (2) = 6 dB

Per quanto riguarda l'attenuazione di potenza, rispettivamente in unità lineari e logaritmiche:

P_IN = V_IN² / R = 80 mW = 19 dBm (nota 5)

P_OUT = V_OUT² / R = 20 mW = 13 dBm

α_P= P_IN / P_OUT = 4 (adimensionale!)

α_dB= P_IN - P_OUT = 19 - 13 = 6 dB

Osservazione 1: 10 log(4) = 6 dB

Osservazione 2: l'attenuazione di potenza e quella di tensione, se espresse in unità logaritmiche, coincidono numericamente e come "unità di misura" nelle condizioni date (quadripolo adattato).

Grafici semilogaritmici

Il guadagno di un circuito in genere non è costante, ma dipende dalla frequenza. Questo legame lo si rappresenta con un grafico con le seguenti caratteristiche:

L'asse orizzontale riporta la frequenza, usando un asse logaritmico spesso esteso su diverse decad, cinque nell'esempio mostrato. Non può ovviamente essere presente il valore 0
L'asse verticale riporta il guadagno in dB oppure la tensione in dBV oppure la potenza in dBm (come nell'esempio seguente). Le grandezze indicate nell'esempio, da 0 dBm e -60 dBm sono arbitrarie e devono essere adattate alla situazione concreta

Il diagramma (vuoto e riferito alla potenza) appare per esempio come in figura:

Grafico semilogaritmico

Potete scaricare un file contenete:

la griglia di Bode in formato PDF estesa su cinque decadi
la griglia di Bode in formato ODS facilmente modificabile per adattarla alle proprie esigenze

Esempio 4

Un segnale è somma di tre sinusoidi con frequenza 100 Hz, 2 000 Hz e 50 kHz. La potenza è, rispettivamente, 10^-4 W, 10 µW e 0 dBm.

Di seguito lo spettro su un grafico semilogaritmico.

La "base" delle linee verticali è normalmente posta nella parte inferiore del grafico, qualunque essa sia, -60 dBm in questo esempio.

A volte è utilizzato un grafico in cui le linee partono da 0 dBm; tale modalità non è quella preferita perchè lontana dai grafici mostrati dalla strumentazione e perché rende poco visibile le linee con ampiezza 0 dBm:

Per non inventare formule...

Alcune formule di uso comune non sono utilizzabili quando le grandezze sono espresse in unità logaritmiche. Tre casi importanti:

Per le sinusoidi: V_RMS[V] = V_P[V] / √2, ma V_RMS[dBV] ≠ V_P[dBV] / √2
Per i resistori: P[W] = V_RMS²[V] / R, ma P[dBm] ≠ V_RMS²[dBV] / R
Il teorema di Parseval non è utilizzabile se le potenze sono espresse in dBm

Il motivo deriva direttamente dalle proprietà dei logaritmi ed in particolare dal fatto che prodotti e rapporti tra grandezze lineari diventano somme e differenze usando grandezze logaritmiche.

Note

Il motivo del cambiamento di 20 in 10 nella formula deriva dal fatto che la potenza è, nel caso di carico resistivi, pari alla tensione al quadrato. Per le proprietà dei logaritmi ciò corrisponde al moltiplicare per due.
Si noti l'uso del dB (e non, per esempio, del dBV o del dBm) per indicare le differenze tra le grandezze logaritmiche
Il non utilizzo della notazione esponenziale (cosa in genere assolutamente negativa!) è solo per evidenziare perché, in molte applicazioni, si preferiscono di gran lunga le unità logaritmiche
In queste equazioni, ad uno sguardo superficiale, sembrano violate le regole del calcolo dimensionale. Non si tratta di un errore! La cosa si spiega considerando che le grandezze sono logaritmiche e che quindi somme e differenze sono in realtà prodotti e rapporti. Inoltre i decibel sono, a ben guardare, numeri puri
Formula valida solo per tensioni e potenze espresse in unità lineari
Il guadagno di tensione espresso in unità logaritmiche coincide numericamente con quello di potenza solo se tutte le impedenze di ingresso ed uscita sono uguali tra di loro, cioè se il sistema è adattato. La stessa considerazione vale anche per le attenuazioni. La condizione di adattamento di impedenza è tipica degli apparati di telecomunicazione, ma non dei circuiti elettronici in generale
Queste definizioni sono operativamente comode, ma imprecise dal punto di vista formale. Andrebbero scritte come V_dBV = 20 · log₁₀ |V_V / 1 V| oppure V_dBu = 20 · log₁₀ |V_V / 1 µV|
Queste definizioni sono operativamente comode, ma imprecise dal punto di vista formale. Andrebbero scritte come P_dBm = 10 · log₁₀ |P_W / 1 mW| oppure P_dBW = 10 · log₁₀ |P_W / 1 W|
Quando non specificato si sottendente che la base del logaritmo è 10, cioè log₁₀(x)
Se si utilizza il valore di picco, per esempio nel caso di tensioni continue, il guadagno di tensione potrebbe anche essere negativo.

Pagina creata nel gennaio 2013
Ultima modifica: 21 ottobre 2022