Home → Tutorial →
Appunti scolastici →
Regime variabile → Segnale campionato
Questa pagina descrive cosa è il campionamento e come influisce sul segnale,
sia nel dominio del tempo che nel dominio della frequenza.
L'immagine di apertura è relativa alla formazione del Padova che ha
partecipato al campionato di calcio 1922/23. Ovviamente non c'entra nulla...
Digitalizzare un segnale variabile
Per elaborare numericamente un segnale variabile occorre trasformarlo in un
insieme di numeri attraverso l'operazione di digitalizzazione. L'hardware
utilizzato è il Convertitore Analogico
Digitale (ADC).
Le operazioni effettuate per digitalizzare un segnale analogico variabile
nel tempo sono due, concettualmente indipendenti:
-
Il campionamento, cioè la conversione di un segnale
tempo-continuo in un segnale tempo-discreto
-
la quantizzazione, cioè la trasformazione di
una grandezza continua, per esempio una tensione, in una
grandezza discreta, per esempio un numero intero
In questa pagina si affronterà solo il primo di questi due aspetti.
Il dominio del tempo
Campionare un segnale significa prelevare il valore del segnale stesso ad
intervalli regolari di tempo.
Due esempi dalla vita di tutti i giorni:
- Campionare la temperatura ambientale significa misurare la
temperatura ogni ora e riportare tale valore in una tabella o in un
grafico
- Campionare l'altezza di un bambino significa misurare la sua altezza
ogni mese e riportare tale valore in una tabella o in un grafico
Esempio 1
Un esempio più tecnico, relativo ad un segnale simile
ad una sinusoide:
- Il primo grafico riporta un segnale con periodo di 2 ms
(10 "quadretti") e frequenza fs=500 Hz:
-
Vogliamo campionare tale segnale, per esempio, ogni 400 µs (due "quadretti" nel
grafico precedente), in corrispondenza dei punti evidenziati nel
seguente grafico. In altri termini usiamo usiamo una
frequenza di campionamento fc di
2,5 kHz.
Possiamo dire che il segnale campionato ha valore pari a quello del segnale
originale negli istanti di campionamento ed è nullo negli altri istanti di tempo (nota 1).
Una rappresentazione grafica alternativa del segnale campionato è la
seguente (nota 2):
Due domande interessanti:
- Possiamo ricostruire esattamente il segnale
originale a partire dal segnale campionato?
- Quale frequenza di campionamento è necessario utilizzare per
ricostruire il segnale originale?
Le risposte a queste due domande sono date dal teorema del campionamento (o di Nyquist o di Shannon o di
Whittaker-Nyquist-Kotelnikov-Shannon) e non sono per nulla intuitive.
Il dominio della frequenza
Quale è lo spettro di un segnale campionato e quale relazione vi è con lo
spettro del segnale originale e con la frequenza di campionamento?
In sintesi, e senza alcun tentativo di dimostrazione, possiamo dire che lo
spettro del segnale campionato alla frequenza fc è
formato da:
- Le linee spettrali del segnale originale
- Un blocco di linee spettrali costituite da:
- Una linea spettrale in corrispondenza di fc.
Tale linea è assente se il valor medio è zero
- Le linee spettrali del segnale originale traslate alla destra di fc
- Le linee spettrali alla destra di fc
specchiate alla sinistra di fc
- Altri blocchi di linee spettrali come il precedente, posti intorno a
frequenza multiple intere di fc
Ignoriamo in questa trattazione semplificata ogni riferimento
all'ampiezza di queste linee spettrali.
Esempio 2
Consideriamo il segnale utilizzato nell'esempio 1. Lo
spettro del segnale di ingresso è facilmente ricavabile osservando che si
tratta di una sinusoide con frequenza di fs=500 Hz
sommata ad una costante (valor medio).
La frequenza di campionamento utilizzata nell'esempio 1
è pari a 2.5 kHz. Lo spettro campionato conterrà quindi:
- Una linea con "frequenza 0 Hz" ed una con frequenza
fs=500 Hz,
presenti nel segnale originale
- Un blocco costituito da:
- una linea con frequenza 2.5 kHz (fc)
- una linea con frequenza 3 kHz (fc +
fs)
- una linea con frequenza 2 kHz (fc -
fs)
- Altri blocchi uguali al precedente posti a 2,5 kHz (=fc)
di distanza tra di loro
Graficamente:
Esempio 3
Un segnale ha lo spettro seguente:
Con una certa approssimazione possiamo dire che la sua frequenza è 2 kHz
(fondamentale) e che contiene armoniche con frequenza 6 kHz,
10 kHz, 14 kHz, 18 kHz, 22 kHz (e forse altre di
ampiezza molto piccola).
Esso viene campionato alla frequenza di campionamento fc = 100 kHz.
Di seguito lo spettro del segnale campionato, ottenuto con un programma di
simulazione.
Leggiamo il grafico, confrontandolo con quello del
segnale originale:
- A sinistra abbiamo le linee spettrali identiche a
quelle del segnale prima del campionamento
- Le stesse linee sono presenti a partire da 100 kHz (fc)
e, non visibili, a partire da 200 kHz (2·fc)
e così via
- Le stesse linee sono presenti, simmetricamente, alla sinistra di 100 kHz (fc),
di 200 kHz (2·fc) e cos' via
Teorema del campionamento
Enunciato: per campionare un segnale s è
necessario utilizzare un frequenza di campionamento fc
pari ad almeno il doppio della massima frequenza presente nello spettro di
s.
fc > 2 · fsMAX
Alcuni esempi:
- Per campionare la frequenza sinusoidale di rete (50 Hz) è necessario utilizzare
una frequenza di campionamento di almeno 100 Hz
- Per campionare un suono (convenzionalmente contenenti sinusoidi con
frequenza da 20 Hz a 20 kHz)
occorre usare una frequenza di almeno 40 kHz
Questo teorema a ripercussioni importanti a livello applicativo:
- Posso ricostruire esattamente il segnale originale
a partire dal segnale campionato se rispetto la condizione data dal
teorema? Si, è sufficiente "scartare" tutte le frequenza a partire da
metà della frequenza di campionamento. La prima parte dei due grafici è
infatti, matematicamente, identica
- Posso usare una frequenza di campionamento maggiore di quanto
richiesto dal teorema? Certamente, ma è fatica inutile e non aggiunge
nulla alla qualità del risultato (nota 3)
Se non è rispettata la frequenza minima di campionamento richiesta dal
teorema del campionamento, il segnale campionato diventa assolutamente
diverso da quello originale (aliasing).
Quesiti
Quale frequenza di campionamento occorre utilizzare, come minimo, per
campionare:
- un segnale sinusoidale con frequenza 12 kHz?
- un segnale somma di tre sinusoidi con frequenza 10 kHz, 15 kHz e
25 kHz?
- un segnale ad onda quadra con frequenza 12 kHz?
Note
- Nel contesto di questa trattazione semplificata si considerano
equivalenti e sinonimo i concetti di zero, nullo o indefinito, cosa
evidentemente falsa
- Attenzione a non confondere tale grafico con uno
spettro! Malgrado la forma simile
(linee verticali a distanza costante) sull'asse orizzontale abbiamo
infatti un tempo e non una frequenza
- A livello tecnologico il sovra-campionamento è in realtà
utilizzato per semplificare la realizzazione fisica di alcuni componenti
Pagina creata nel maggio 2023
Ultima modifica: 17 maggio 2023
