Filtri passivi

In fase di sviluppo Stesura preliminare In fase di sviluppo

Un filtro è un quadripolo che permette al segnale sinusoidale applicato in ingresso di arrivare all'uscita solo se la sua frequenza è compresa in un determinato intervallo. Tale intervallo viene indicato con il termine di banda passante oppure semplicemente banda (B).

Se il segnale non è sinusoidale, possiamo scomporlo nelle sue componenti spettrali, alcune delle quali saranno presenti in uscita al filtro ed altre no.

I filtri possono essere classificati come:

Filtro Passa Basso - LPF
Solo i segnali la cui frequenza è inferiore alla frequenza di taglio fT saranno trasferiti dall'ingresso all'uscita. In questo caso la banda si estende dalla continua (frequenza zero) fino alla frequenza fT.
Filtro Passa Alto - HPF
Solo i segnali la cui frequenza è superiore alla frequenza di taglio fT saranno trasferiti dall'ingresso all'uscita. In questo caso la banda è infinita, a partire dalla  frequenza fT
Filtro Passa Banda - BPF
Solo i segnali la cui frequenza è compresa tra la frequenza di taglio inferiore e la frequenza di taglio superiore saranno trasferiti dall'ingresso all'uscita. La banda è pari  alla differenza tra le due frequenza di taglio: B = fT-SUP - fT-INF
Filtro elimina banda o escludi banda
Solo i segnali la cui frequenza è inferiore alla frequenza di taglio inferiore e superiore alla frequenza di taglio superiore saranno trasferiti dall'ingresso all'uscita. Spesso le frequenze eliminate appartengono ad un intervallo molto piccolo: in questo caso si parla di filtro notch.

I simboli spesso utilizzati sono i seguenti, dal significato piuttosto ovvio.

Filtri

Per descrivere questo comportamento spesso si ricorre al concetto di guadagno:

Un filtro si dice passivo se contiene solo elementi passivi, in genere resistori, induttori e condensatori. In alcuni casi sono presenti anche altri componenti come cristalli di quarzo e trasformatori. Si noti che il segnale di uscita di un filtro passivo deve necessariamente avere una potenza minore o uguale alla potenza del segnale di ingresso: mancano infatti generatori interni al filtro. Il guadagno di potenza è quindi minore di 1 (oppure minore di 0 dB)

Un filtro si dice ideale se il guadagno è costante all'interno della banda, nullo all'esterno.

Applicazione dei filtri: esempi

Filtro ADSL

Lungo la linea telefonica viaggiavano contemporaneamente due segnali:

I due segnali si disturbano a vicenda:

La soluzione è utilizzare:

Il genere questi filtri sono costruiti in un solo contenitore con un ingresso e due uscite. Spesso sono indicati anche con il termine splitter ADSL (cioè separatori).

Filtro di cross-over

Un segnale musicale contiene molte frequenze. Un altoparlante in genere è in grado di riprodurre con fedeltà solo un certo intervallo di frequenze:

Un filtro di cross-over viene inserito tra un amplificatore e un altoparlante per permettere il passaggio delle sole frequenze che un altoparlante può efficacemente riprodurre. In genere tali filtri hanno un ingresso e più uscite, una per ciascun tipo di altoparlante.

Filtro di un ricevitore TV

Tutti i segnali televisivi arrivano contemporaneamente all'antenna ricevente. Ciascuno di essi occupa una banda di circa 7 MHz, scelto in un intervallo tra 500 e 1000 MHz. Un ricevitore TV contiene un filtro bassa banda con banda pari a 7 MHz che permette di visualizzare sul monitor uno solo tra tutti i canali ricevuti. (in realtà il funzionamento è molto più complesso e si basa anche su principi di funzionamento diversi)

Ordine di un filtro

Un filtro reale può essere descritto matematicamente dalla sua funzione di trasferimento e dal corrispondente diagramma di Bode, cioè dal grafico che riporta il modulo del guadagno in funzione della frequenza (nota 3).

Matematicamente viene definito ordine di un filtro (passa alto o passa basso) il numero di poli presenti nella funzione di trasferimento (nota 1).

Graficamente più è elevato l'ordine di un filtro, più è elevata la pendenza dei tratti inclinati della diagramma di Bode cioè più il comportamento di filtro si avvicina a quello ideale (tratto verticale che nel diagramma di Bode è irrealizzabile)

A titolo di esempio si riporta il grafico della funzione di trasferimento reale di un filtro passa basso del primo ordine (rosso), del secondo ordine (blu) e del quarto ordine (verde) con frequenza di taglio pari ad 1 Hz.

Filtro di Butterworth del primo, secondo e quarto ordine

Leggendo il grafico si vede che:

Tipologie di filtri

I filtri possono essere realizzati in differenti tipologie a secondo degli aspetti che più interessano una determinata applicazione. Tre tipi (tra i tanti) ampiamente utilizzati sono descritti brevemente in seguito.

Filtri di Butterworth

Questi filtri presentano un guadagno in banda passante costante (in termini tecnici: massimamente piatto). Il diagramma di Bode di tale tipologia di filtro, per vari ordini, è quello dell'esempio sopra riportato: si osservi come per le frequenze basse il guadagno sia effettivamente "piatto".

In questo tipo di filtro la frequenza di taglio fT è definita come quella frequenza in cui il guadagno è inferiore di 3 dB al valore massimo assunto in banda passante, indipendentemente dall'ordine. Quindi i tre filtri dei quali è disegnata la risposta in frequenza hanno la stessa banda (pari a 1 Hz)

Filtri di Chebychev

Questi filtri presentano un passaggio brusco tra il guadagno in banda passante e quello in banda attenuata, a scapito della "piattezza" della risposta in banda passante. Uno dei parametri di progetto è la fascia massima di oscillazione del guadagno in banda passante, identificata dalla linea tratteggiata in figura (3 dB nell'esempio).

La frequenza di taglio per questi filtri è definita come la frequenza alla quale il guadagno esce definitivamente dalla fascia di oscillazione (in figura: 1 Hz)

Il grafico seguente mostra il confronto tra la risposta in frequenza di un filtro di Chebychev (in rosso) ed uno di Butterworth (in verde). I due filtri hanno la stessa banda (1 Hz) e lo stesso ordine (quarto). Si osservi che nel tratto a destra nel grafico le due linee sono parallele e con pendenza pari a -80 dB/decade. In corrispondenza della frequenza di taglio invece la pendenza appare molto diversa.

Filtro di Chebychev del quarto ordine

Filtri di Bessel

Questi filtri assomigliano nel modulo a quelli di Butterworth, ma presentano un andamento della fase più lineare. Non sono qui trattati.

Note

  1. Nel caso di filtri passa banda, l'ordine è pari alla metà del numero dei poli
  2. In realtà questa definizione cambia a seconda del campo di applicazione
  3. Ci sarebbe anche il grafico della fase, qui non descritto

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