Filtri passivi

In fase di sviluppo Stesura preliminare In fase di sviluppo

Un filtro è un quadripolo che permette al segnale sinusoidale applicato in ingresso di arrivare all'uscita solo se la sua frequenza è compresa in un determinato intervallo. Tale intervallo viene indicato con il termine di banda passante oppure semplicemente banda (B).

Se il segnale non è sinusoidale, possiamo scomporlo nelle sue componenti spettrali, alcune delle quali saranno presenti in uscita al filtro ed altre no.

I filtri possono essere classificati come:

Filtro Passa Basso - LPF
Solo i segnali la cui frequenza è inferiore alla frequenza di taglio fT saranno trasferiti dall'ingresso all'uscita. In questo caso la banda si estende dalla continua (frequenza zero) fino alla frequenza fT.
Filtro Passa Alto - HPF
Solo i segnali la cui frequenza è superiore alla frequenza di taglio fT saranno trasferiti dall'ingresso all'uscita. In questo caso la banda è infinita, a partire dalla  frequenza fT
Filtro Passa Banda - BPF
Solo i segnali la cui frequenza è compresa tra la frequenza di taglio inferiore e la frequenza di taglio superiore saranno trasferiti dall'ingresso all'uscita. La banda è pari  alla differenza tra le due frequenza di taglio: B = fT-SUP - fT-INF
Filtro elimina banda o escludi banda
Solo i segnali la cui frequenza è inferiore alla frequenza di taglio inferiore e superiore alla frequenza di taglio superiore saranno trasferiti dall'ingresso all'uscita. Spesso le frequenze eliminate appartengono ad un intervallo molto piccolo: in questo caso si parla di filtro notch.

I simboli spesso utilizzati sono i seguenti, dal significato piuttosto ovvio.

Filtri

Per descrivere questo comportamento spesso si ricorre al concetto di guadagno:

Un filtro si dice passivo se contiene solo elementi passivi, in genere resistori, induttori e condensatori. In alcuni casi sono presenti anche altri componenti come cristalli di quarzo e trasformatori. Si noti che il segnale di uscita di un filtro passivo deve necessariamente avere una potenza minore o uguale alla potenza del segnale di ingresso: mancano infatti generatori interni al filtro. Il guadagno di potenza è quindi minore di 1 (oppure minore di 0 dB)

Un filtro si dice ideale se il guadagno è costante all'interno della banda, nullo all'esterno.

Applicazione dei filtri: esempi

Filtro ADSL

Lungo la linea telefonica viaggiavano contemporaneamente due segnali:

I due segnali si disturbano a vicenda:

La soluzione è utilizzare:

Il genere questi filtri sono costruiti in un solo contenitore con un ingresso e due uscite. Spesso sono indicati anche con il termine splitter ADSL (cioè separatori).

Filtro di cross-over

Un segnale musicale contiene molte frequenze. Un altoparlante in genere è in grado di riprodurre con fedeltà solo un certo intervallo di frequenze:

Un filtro di cross-over viene inserito tra un amplificatore e un altoparlante per permettere il passaggio delle sole frequenze che un altoparlante può efficacemente riprodurre. In genere tali filtri hanno un ingresso e più uscite, una per ciascun tipo di altoparlante.

Filtro di un ricevitore TV

Tutti i segnali televisivi arrivano contemporaneamente all'antenna ricevente. Ciascuno di essi occupa una banda di circa 7 MHz, scelto in un intervallo tra 500 e 1000 MHz. Un ricevitore TV contiene un filtro bassa banda con banda pari a 7 MHz che permette di visualizzare sul monitor uno solo tra tutti i canali ricevuti. (in realtà il funzionamento è molto più complesso e si basa anche su principi di funzionamento diversi)

Risposta in frequenza

Un filtro reale può essere descritto matematicamente dalla sua funzione di trasferimento e dal corrispondente diagramma di Bode, cioè dal grafico che riporta il modulo del guadagno espresso in decibel in funzione della frequenza su scala logaritmica (nota 3).

Il grafico seguente mostra un esempio con la risposta in frequenza di un filtro passa alto:

Risposta in frequenza

Leggiamo il grafico:

Esempio 1

L'ingresso del filtro descritto dalla risposta in frequenza sopra riportata è una sinusoide con frequenza 100 Hz e ampiezza VIN = 10 V. Calcoliamo il segnale di uscita.

Nell'ipotesi di circuito lineare sappiamo che l'uscita è una sinusoide con frequenza 100 Hz.

Dal grafico leggiamo che il guadagno a 100 Hz è circa -40 dB, cioè 0,01. L'ampiezza della sinusoide in uscita è quindi circa VOUT = 10 · 0,01 = 0,1 V.

Lo stesso risultato lo si poteva ottenere usando nei calcoli le unità logaritmiche (nota 4):

Ovviamente -20 dBV = 0,1 V

Esempio 2

Consideriamo la seguente risposta in frequenza di un filtro passa basso. Il guadagno è pari a circa -6 dB fino a 100 MHz, poi decresce.

Filtro passa basso

Q1 - L'ingresso è una sinusoide con frequenza 10 MHz e ampiezza 10 dBV. Determinare l'uscita.

A1 - L'uscita è una sinusoide con frequenza 10 MHZ ed ampiezza VOUT = 10 dBV - 6 dB = 4 dBV

Q2 - L'ingresso è una sinusoide con frequenza 1 GHz e ampiezza 0 dBV. Determinare l'uscita.

A2 - L'uscita è una sinusoide con frequenza 1 GHZ ed ampiezza VOUT = 0 dBV - 106 dB = -106 dBV circa

Q3 - L'ingresso è una sinusoide con frequenza 100 MHz e ampiezza 20 dBV. Determinare l'uscita.

A3 - L'uscita è una sinusoide con frequenza 100 MHZ ed ampiezza VOUT = 20 dBV - 9 dB = 11 dBV circa

Q4 - L'ingresso è un'onda quadra con frequenza 100 MHz e ampiezza 1 V. Determinare l'uscita.

A4 - La risposta è qui complessa, in quanto l'uscita non è un'onda quadra. Possiamo scomporre l'ingresso in una somma di infinite sinusoidi con frequenza 100 MHz, 300 MHz, 500 MHz... e considerare singolarmente il loro contributo, secondo il principio di sovrapposizione degli effetti. Si veda per una soluzione tramite simulazione, l'esercizio 6.

Ordine di un filtro

Matematicamente viene definito ordine di un filtro (passa alto o passa basso) il numero di poli presenti nella funzione di trasferimento (nota 1).

Graficamente più è elevato l'ordine di un filtro, più è elevata la pendenza dei tratti inclinati della diagramma di Bode cioè più il comportamento di filtro si avvicina a quello ideale (tratto verticale che nel diagramma di Bode è irrealizzabile)

A titolo di esempio si riporta il grafico della funzione di trasferimento reale di un filtro passa basso del primo ordine (rosso), del secondo ordine (blu) e del quarto ordine (verde) con frequenza di taglio pari ad 1 Hz.

Filtro di Butterworth del primo, secondo e quarto ordine

Leggendo il grafico si vede che:

Tipologie di filtri

I filtri possono essere realizzati in differenti tipologie a secondo degli aspetti che più interessano una determinata applicazione. Tre tipi (tra i tanti) ampiamente utilizzati sono descritti brevemente in seguito.

Filtri di Butterworth

Questi filtri presentano un guadagno in banda passante costante (in termini tecnici: massimamente piatto). Il diagramma di Bode di tale tipologia di filtro, per vari ordini, è quello dell'esempio sopra riportato: si osservi come per le frequenze basse il guadagno sia effettivamente "piatto".

In questo tipo di filtro la frequenza di taglio fT è definita come quella frequenza in cui il guadagno è inferiore di 3 dB al valore massimo assunto in banda passante, indipendentemente dall'ordine. Quindi i tre filtri dei quali è disegnata la risposta in frequenza hanno la stessa banda (pari a 1 Hz)

Filtri di Chebychev

Questi filtri presentano un passaggio brusco tra il guadagno in banda passante e quello in banda attenuata, a scapito della "piattezza" della risposta in banda passante. Uno dei parametri di progetto è la fascia massima di oscillazione del guadagno in banda passante, identificata dalla linea tratteggiata in figura (3 dB nell'esempio).

La frequenza di taglio per questi filtri è definita come la frequenza alla quale il guadagno esce definitivamente dalla fascia di oscillazione (in figura: 1 Hz)

Il grafico seguente mostra il confronto tra la risposta in frequenza di un filtro di Chebychev (in rosso) ed uno di Butterworth (in verde). I due filtri hanno la stessa banda (1 Hz) e lo stesso ordine (quarto). Si osservi che nel tratto a destra nel grafico le due linee sono parallele e con pendenza pari a -80 dB/decade. In corrispondenza della frequenza di taglio invece la pendenza appare molto diversa.

Filtro di Chebychev del quarto ordine

Filtri di Bessel

Questi filtri assomigliano nel modulo a quelli di Butterworth, ma presentano un andamento della fase più lineare. Non sono qui trattati.

Note

  1. Nel caso di filtri passa banda, l'ordine è pari alla metà del numero dei poli
  2. In realtà questa definizione cambia a seconda del campo di applicazione
  3. Ci sarebbe anche il grafico della fase, qui non descritto
  4. Questo metodo è quello preferito nel caso in cui per l'ingresso e l'uscita si usano tensioni misurate in dBV oppure potenze misurate in dBm


Pagina creata nel dicembre 2012. Ultima modifica: 12 dicembre 2020


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