Principi di Kirchhoff: esercizi

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I principi di Kirchhoff si prestano molto bene nella risoluzione di reti complesse, con molti generatori e/o utilizzatori. In particolare questo metodo è la base di alcuni algoritmi per la soluzione di circuiti tramite calcolatore.

In questa pagina sono presenti due tipologie di esercizi:

Reti costituite da resistori e generatori di valore noto
Reti generiche delle quali sono note alcune tensioni perché, per esempio, misurate in laboratorio

Resistori e generatori

Consideriamo qui un circuito costituito esclusivamente da resistenze di valore noto e generatori di tensione di valore noto, formato da N_NODI nodi e N_RAMI rami. Le incognite possono essere identificate nelle N_I correnti, una per ogni ramo, infatti N_I = N_RAMI.

Dovremo impostare un sistema di N_I equazioni lineari in N_I incognite; serviranno:

( N_NODI - 1 ) equazioni ai nodi
( N_RAMI - N_NODI + 1 ) equazioni alle maglie

Detto in altro modo, più intuitivo ed operativo:

Occorre individuare il numero delle correnti distinte, cioè il numero di incognite, cioè il numero di rami
Occorre individuare il numero dei nodi
Occorre scrivere tante equazioni ai nodi quanti sono il numero di nodi meno uno (esempio: 10 nodi → 9 equazioni ai nodi)
Occorre scrivere tante equazioni alle maglie per arrivare ad un numero complessivo di equazioni pari al numero di incognite (esempio 15 incognite, 9 equazioni ai nodi → 6 equazioni alle maglie). Nel scegliere le maglie è necessario che ciascun componente sia presente in almeno una di queste equazioni

Le tensioni ai capi delle resistenze possono essere ricavata con la legge di Ohm, conoscendo le correnti.

Esempio 1

Come primo passaggio, disegniamo il verso delle correnti in tutti i rami (tre) e delle tensioni ai capi di ciascun componente (quattro resistori, due generatori di tensione), seguendo le indicazioni qui descritte. Nello schema sono già indicate.

Esempio 4

I nomi utilizzati per tensioni e correnti sono ovviamente arbitrari, ma conviene sceglierli facendo riferimento al nome dei componenti. Per esempio useremo per questo esempio I14, I2 ed I3 per le correnti (dal nome dei resistori attraversati dalla corrente, nota 6), V1, V2, V3, V4, Va e Vb per le tensioni (dal nome del componente ai capi del quale la tensione è misurata).

Alcune osservazioni sulle scelte fatte:

I versi di Va e Vb sono dati e non possono essere scelti in altro modo (+ e - nello schema)
Le due correnti I14 e I2 hanno un verso che deriva dalla convenzione dei generatori e non possono essere scelti in altro modo (nota 4)
I3 è stata scelta in modo arbitrario (nota 5)
I versi delle tensioni ai capi dei resistori sono una diretta conseguenza delle scelte precedenti e della convenzione degli utilizzatori

Cosa andremo a scegliere:

Complessivamente abbiamo tre rami e quindi tre correnti (le tre incognite I14, I2 e I3). Servirà quindi un sistema di tre equazioni.
I nodi sono due: ne dovremo scegliere uno, in modo arbitrario. In seguito: quello in alto. (nota 3)
Per avere tre equazioni sceglieremo due equazioni alle maglie (sulle tre disponibili). In seguito: le due maglie più piccole, quelle laterali quadrate (nota 3)

Il sistema (nota 2):

Esercizio 4 - Sistema

La soluzione potrebbe essere un esercizio di matematica... lungo ed un po' noioso:

I14 = 0,77 mA
I2 = 1,94 mA
I3 = -2,71 mA

Si noti il segno negativo di I3: significa che la scelta fatta arbitrariamente del verso non è quella corretta e nella realtà I3 ha il verso opposto a quanto disegnato. Non serve però fare nuovamente i calcoli!

La tensione ai capi dei resistori può essere trovata applicando la legge di Ohm:

V1 = I14 · R1 = 2,18 · 1 = 0.77 V
V2 = 3.88 V
V3 = -8.13 V
V4 = 3.08 V

Utilizzando un programma di simulazione, per esempio SIMetrix/SIMPLIS Elements 101, è possibile verificare i risultati ottenuti:

Esempio 2

Il seguente circuito è formato da:

4 nodi, ben evidenziati nello schema
6 rami. Ogni ramo contiene un resistore e, a volte, un generatore di tensione in serie
7 maglie, se ho ben contato. Per fortuna questo numero non ci interessa (sembra uno dei classici trabocchetti pubblicati sulle riviste di enigmistica...)

Esercizio 5

Quindi:

Le incognite sono le sei correnti, lo stesso numero di rami (e quindi delle equazioni necessarie)
Le equazioni ai nodi da scrivere sono tre (essendo quattro i nodi)
Le equazioni alle maglie da scrivere sono tre, per arrivare con le precedenti ad un totale di sei, pari al numero delle incognite

Come già visto iniziamo scegliendo il verso di tensioni e correnti, alcune in modo obbligato, altre in modo arbitrario, rispettando sempre le convenzioni di generatori ed utilizzatori

Osservazioni:

I versi di Va e Vb sono dati (+ e - nello schema)
I versi di I5 e I6 sono obbligati per l'applicazione della convenzione dei generatori a Va e Vb
I versi delle rimanenti correnti sono arbitrari
I versi delle tensioni ai capi delle resistenze sono una diretta conseguenza dell'applicazione della convenzione degli utilizzatori

Di seguito il sistema risolutivo: le prime tre sono le equazioni ai tre nodi in alto, le rimanenti sono le equazioni alle tre maglie interne.

Esercizio 5: soluzione

La soluzione numerica:

I1 = - 1,04 mA
I2 = 0.81 mA
I3 = 1,86 mA
I4 = 0.15 mA
I5 = 0.96 mA
I6 = 0.90 mA

Usare risolutori lineari simbolici

In genere la risoluzione manuale con Kirchhoff è lunga ed è facile commettere errori; è invece ottima se si usano strumenti di calcolo quali, per esempio, https://wims.unice.fr...it.html.

Un'altra alternativa è l'uso di un simulatore analogico.

Esempio 3

Di seguito un esempio relativo al seguente circuito:

Esempio 3

Il sistema da risolvere potrebbe essere il seguente (nota 1):

Un'equazione relativa al nodo in alto
L'equazione alla maglia esterna (Va, R1, R3)
L'equazione alla maglia di destra (R2, R3)

Queste equazioni vanno inserire in WIMS:

Il sistema

Cliccando su risolvi il sistema si ottiene la soluzione:

Soluzione

Esercizi

Alcuni esercizi da svolgere. Potrebbe essere utile verificare la propria soluzione numerica (fatta possibilmente con un metodo simbolico...) confrontandola con quella di altre persone; in particolare è utile confrontare soluzioni che hanno fatto scelte diverse per il verso di tensioni e correnti.

Esercizio 4

Dopo aver individuato il numero di correnti incognite, scrivere il sistema risolutivo. La soluzione numerica non è richiesta (anche se presente, da utilizzare per una verifica delle equazioni scritte).

Esercizio 4

Soluzione: I1 = 2.18 mA; I2 = 1,09 mA; I3 = 3,27 mA

Esercizio 5

Dopo aver individuato il numero di correnti incognite, scrivere il sistema risolutivo. La soluzione numerica non è richiesta.

Esercizio 5

Esercizio 6

Dopo aver individuato il numero di correnti incognite, scrivere il sistema risolutivo. La soluzione numerica non è richiesta.

Esercizio 6

Esercizio 7

Dopo aver individuato il numero di correnti incognite, scrivere il sistema risolutivo. La soluzione numerica non è richiesta.

Esercizio 7

Reti generiche

Esempio 8

Nel seguente circuito è nota la tensione del generatore V1 (5 V) e la tensione ai capi di R2 (0,717 V, con potenziale positivo in alto). Determinare la corrente nel diodo D1 e la tensione ai suoi capi.

Circuito con diodo - esempio 8

Traccia di soluzione:

Innanzitutto è bene, al solito, disegnare i versi di tutte le tensioni e le correnti
D1 ed R2 sono in parallelo e quindi V_D1 = V_R2
La corrente in R2 è pari a 1,53 mA (legge di Ohm applicata a R2)
Scrivendo l'equazione alla maglia esterna è possibile calcolare la tensione ai capi di R1 (4,29 V) e di conseguenza la corrente in essa (4,29 mA)
Scrivendo l'equazione ad uno dei nodi possiamo calcolare la corrente nel diodo (2,76 mA)

Esercizio 9

Nel seguente circuito è nota la tensione del generatore V1 (5 V) e la tensione ai capi di R2 (1 V, con potenziale positivo in alto). Determinare:

la corrente nel diodo D1
la tensione ai capi del diodo D1

Esercizio 9

Esercizio 10

Dato il circuito descritto alla pagina Principi di Kirchhoff: laboratorio, calcolare tutte le tensioni e le correnti nell'ipotesi di conoscere solo V_CC e V_R3. Utilizzare i dati numerici trovati nella propria attività di laboratorio.

Per la verifica dei risultati utilizzare... i dati numerici trovati nella propria attività di laboratorio.

Esercizio 11

Si consideri Il circuito presentato nella parte iniziale dell'attività 1. Nell'ipotesi di conoscere esclusivamente le tensioni ai capi del resistore e del diodo, determinare:

La corrente di uscita della porta logica
La tensione di uscita della porta logica

Per i dati (ed anche la verifica dei risultati) utilizzare quanto misurato durante lo svolgimento della prova.

Esercizio 12

Nel seguente circuito sono note le tensioni:

V_CC: 5 V
V_R2: 2,78 V
V_D2: 0,73 V
V_R1: 1,37 V

Esercizio 12

Determinare:

la corrente in D2
la tensione in uscita alla porta logica
la corrente in D1
la tensione ai capi di D1

Utile far riferimento all'attività 3 della pagina Principi di Kirchhoff: laboratorio 2

Note

Sono possibili anche scelte di altre maglie ed altri nodi
Nelle formule seguenti le resistenze sono misurate in chilo-ohm (kΩ), le correnti in milliampere (mA), le tensioni in volt (V)
Scelte diverse portano ad equazioni diverse, ma ad un'identica soluzione
Consiglio vivamente di rispettare la convenzione. Nel caso di oggettiva impossibilità, significa che in realtà almeno uno dei generatori si sta comportando come utilizzatore. Per scoprire quale, occorrerà risolvere l'intero circuito
In realtà sarebbe stato più comodo scegliere l'altro verso... Ma la procedura è corretta indipendentemente da questa scelta
Per sintesi, la corrente I14 potrebbe essere chiamata semplicemente I1 (oppure I4); per pedanteria I14 potrebbe essere chiamata I14a. Il nome è evidentemente irrilevante, ma deve essere chiaro che la stessa corrente attraversa sia R1 che R4 che Va essendo questi tre componenti in serie, quindi deve avere un solo nome.

Data di creazione di questa pagina: novembre 2019
Ultima modifica: 12 ottobre 2024