I principi di Kirchhoff si prestano molto bene nella risoluzione di reti complesse, con molti generatori e/o utilizzatori. In particolare questo metodo è la base di alcuni algoritmi per la soluzione di circuiti tramite calcolatore.
In questa pagina sono presenti due tipologie di esercizi:
Consideriamo qui un circuito costituito esclusivamente da resistenze di valore noto e generatori di tensione di valore noto, formato da NNODI nodi e NRAMI rami. Le incognite possono essere identificate nelle NI correnti, una per ogni ramo, infatti NI = NRAMI.
Dovremo impostare un sistema di NI equazioni lineari in NI incognite; serviranno:
Detto in altro modo, più intuitivo ed operativo:
Le tensioni ai capi delle resistenze possono essere ricavata con la legge di Ohm, conoscendo le correnti.
Come primo passaggio, disegniamo il verso delle correnti in tutti i rami (tre) e delle tensioni ai capi di ciascun componente (quattro resistori, due generatori di tensione), seguendo le indicazioni qui descritte. Nello schema sono già indicate.
I nomi utilizzati per tensioni e correnti sono ovviamente arbitrari, ma conviene sceglierli facendo riferimento al nome dei componenti. Per esempio useremo per questo esempio I14, I2 ed I3 per le correnti (dal nome dei resistori attraversati dalla corrente, nota 6), V1, V2, V3, V4, Va e Vb per le tensioni (dal nome del componente ai capi del quale la tensione è misurata).
Alcune osservazioni sulle scelte fatte:
Cosa andremo a scegliere:
Il sistema (nota 2):
La soluzione del sistema potrebbe essere un esercizio di matematica... lungo ed un po' noioso:
Si noti il segno negativo di I3: significa che la scelta fatta arbitrariamente del verso non è quella corretta e nella realtà I3 ha il verso opposto a quanto disegnato. Non serve però fare nuovamente i calcoli!
La tensione ai capi dei resistori può essere trovata applicando la legge di Ohm:
Utilizzando un programma di simulazione, per esempio SIMetrix/SIMPLIS Elements 101, è possibile verificare i risultati ottenuti:
Il seguente circuito è formato da:
Quindi:
Come già visto iniziamo scegliendo il verso di tensioni e correnti, alcune in modo obbligato, altre in modo arbitrario, rispettando sempre le convenzioni di generatori ed utilizzatori
Osservazioni:
Di seguito il sistema risolutivo: le prime tre sono le equazioni ai tre nodi in alto, le rimanenti sono le equazioni alle tre maglie interne.
Una curiosità: ho chiesto ad una IA di svolgere l'esercizio. Mai visto nulla di peggio!
La soluzione numerica, semplice come procedura, ma troppo lunga per ottenerla senza un computer in tempi oggi ragionvoli:
In genere la risoluzione manuale con Kirchhoff è lunga ed è facile commettere errori; è invece ottima se si usano strumenti di calcolo quali, per esempio, https://wims.unice.fr...it.html.
Un'altra alternativa è l'uso di un simulatore analogico.
Di seguito un esempio relativo al seguente circuito:
Il sistema da risolvere potrebbe essere il seguente (nota 1):
Queste equazioni vanno inserire in WIMS:
Cliccando su risolvi il sistema si ottiene la soluzione:
Alcuni esercizi da svolgere. Potrebbe essere utile verificare la propria soluzione numerica (fatta possibilmente con un metodo simbolico...) confrontandola con quella di altre persone; in particolare è utile confrontare soluzioni che hanno fatto scelte diverse per il verso di tensioni e correnti.
Dopo aver individuato il numero di correnti incognite, scrivere il sistema risolutivo. La soluzione numerica non è richiesta (anche se presente, da utilizzare per una verifica delle equazioni scritte).
Soluzione: I1 = 2.18 mA; I2 = 1,09 mA; I3 = 3,27 mA
Dopo aver individuato il numero di correnti incognite, scrivere il sistema risolutivo. La soluzione numerica non è richiesta.
Dopo aver individuato il numero di correnti incognite, scrivere il sistema risolutivo. La soluzione numerica non è richiesta.
Dopo aver individuato il numero di correnti incognite, scrivere il sistema risolutivo. La soluzione numerica non è richiesta.
La soluzione di una rete che contiene anche diodi, è più complessa da risolvere. Questo avviene perché cade una delle caratteristiche dei precedenti circuiti presenti in questa pagina: se, risolto il sistema, una corrente risulta negativa significa semplicemente che il verso è l'opposto di quanto disegnato, ma il modulo non cambia.
In un diodo il comportamento cambia profondamente se cambia il verso della corrente: questo componente è detto polarizzato cioè non simmetrico: non posso invertire il "polo positivo" (anodo) con quello "negativo" (catodo). Questo significa che, se la corrente ha un verso diverso da quanto disegnato, devo rifare completamente i conti, scrivendo equazioni diverse.
Un diodo è un utilizzatore. Il verso della corrente è quello qui disegnato (facile da ricordare guardando la forma del simbolo) e quello della tensione è, ovviamente, opposto.
Per descrivere il legame tra ID e VD in un diodo abbiamo diverse possibilità, più o meno complesse. In questa pagina sceglieremo un modello intermedio, non semplicistico, ma neppure troppo complesso:
Le equazioni si scrivono usando gli stessi criteri descritti all'inizio di questa pagina.
In genere, negli esercizi didattici, il sistema da risolvere è molto semplice: spesso abbiamo equazioni con una sola incognita...
Per procedere si fanno in alternativa due ipotesi e si scarta quella che porta a risultati "assurdi":
Per controllare se i risultati sono corretti è possibile:
Dato il seguente circuito, determinare la corrente nel diodo D e la tensione VD ai suoi capi.
Innanzitutto è necessario, al solito, disegnare i versi di tutte le tensioni e le correnti seguendo le convenzioni dei generatori per Vcc e degli utilizzatori per gli altri componenti.
IPOTESI da verificare: nel diodo passa corrente e quindi VD = 0,7V.
Sono presenti due nodi; scriviamo quindi un'equazione ai nodi:
I1 = I2 + ID [equazione 1]
Ci sono tre correnti incognite. quindi servono altre due equazioni alle maglie:
Vcc - V1 - VD = 0
VD - V2 = 0
Applichiamo la legge di Ohm ai due resistori:
Vcc - I1·R1 - VD = 0
VD - I2·R2 = 0
Sostituiamo le grandezza note:
5 - I1·1000 - 0.7 = 0 [equazione 2]
0.7 - I2·470 = 0 [equazione 3]
Dovremmo ora scrivere il sistema di tre equazioni e risolverlo. In realtà osserviamo facilmente che dalla equazione 3 possiamo ricavare immediatamente I2:
I2 = 0.7 / 470 = 0.0015 A (molto meglio: I2 = 1,5 mA)
Analogamente dalla equazione 2 ricaviamo immediatamente I1:
I1 = (5 - 0,7) / 1000 = 0,0043 A (molto meglio: I1 = 4,3 mA)
Infine dalla prima equazione ricaviamo che:
ID = I1 - I2 = 4,3 - 1.5 = 2.8 mA
Siamo stati fortunati: le ipotesi sono tutte verificate (ID > 0; VD = 0,7 V) e quindi la soluzione appare corretta. Per una verifica definitiva: simuliamo il circuito.
Proviamo e scegliere l'altra ipotesi, che a questo punto sappiamo già essere non verificata:
IPOTESI da verificare: nel diodo non passa corrente (ID = 0) e quindi VD < 0,7V
I versi di I e V rimangono invariati. come pure le equazioni:
I1 = I2 + ID
Vcc - I1·R1 - VD = 0
VD - I2·R2 = 0
Sostituiamo quanto noto: R1 = 1000 Ω; R2 = 470 Ω; Vcc = 5V. Inoltre imponiamo che ID = 0 A, come da ipotesi:
I1 = I2
5 - I1·1000 - VD = 0 [equazione 2bis]
VD - I2·470 = 0 [equazione 3bis]
Dalla equazione 3bis:
VD = I2·470
Sostituendo nella equazione 2bis:
5 - I1·1000 - I2·470 = 0
5 - I2·1000 - I2·470 = 0
I2 = 5 / (1000 + 470) = 3,4 mA
Dalla equazione 3bis:
VD = 0.0034 · 470 = 1,6 V
Dato che VD > 0,7 V questa soluzione è assurda: viola una delle ipotesi.
Varianti:
Risolvere il seguente esercizio:
Nel seguente circuito è nota la tensione del generatore Vcc (5 V) e la tensione ai capi di R2 (1 V, con potenziale positivo in alto). Determinare:
Dato il circuito descritto alla pagina Principi di Kirchhoff: laboratorio, calcolare tutte le tensioni e le correnti nell'ipotesi di conoscere solo VCC e VR3. Utilizzare i dati numerici trovati nella propria attività di laboratorio.
Per la verifica dei risultati utilizzare... i dati numerici trovati nella propria attività di laboratorio.
Si consideri Il circuito presentato nella parte iniziale dell'attività 1. Nell'ipotesi di conoscere esclusivamente le tensioni ai capi del resistore e del diodo, determinare:
Per i dati (ed anche la verifica dei risultati) utilizzare quanto misurato durante lo svolgimento della prova.
Nel seguente circuito sono note le tensioni:
Determinare:
Utile far riferimento all'attività 3 della pagina Principi di Kirchhoff: laboratorio 2
Data di creazione di questa pagina: novembre 2019
Ultima modifica: 20 ottobre 2026
Appunti scolastici - Versione 0.1033 - Marzo 2026
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