Diagrammi di bode reali

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I diagrammi reali differiscono da quelli asintotici. Il grafico reale appare infatti:

più "arrotondato"
distanziato da quello asintotico, soprattutto in corrispondenza dei poli e degli zeri
coincidente con quello asintotico quando i valori di s sono molto distanti da tutti i poli e tutti gli zeri

Per calcolare in modo rigoroso modulo e fase per un valore qualunque di s è sufficiente utilizzare direttamente la formula di G(s), sostituendo ad s il valore della pulsazione. Consideriamo una funzione di trasferimento in cui numeratore e denominatore sono stati scomposti nel prodotto di binomi, come in tutti gli esempi presentati nella pagina diagrammi di bode asintotici.

Il modulo di G(s) è il rapporto tra i moduli dei singoli binomi al numeratore e quelli al denominatore. Ovviamente il risultato va poi trasformato in decibel. Facendo riferimento alla seconda rappresentazione della G(s) avremo quindi:

Modulo di G(s)

La fase di G(s) è la somma delle fasi dei singoli binomi al numeratore meno quelle dei binomi al denominatore. Questo calcolo è graficamente possibile anche attraverso il regolo delle fasi, qui non descritto

Fase di G(s)

Ovviamente il grafico lo devo poi ricavare per punti, operazione in pratica possibile solo usando un calcolatore. Tutti i grafici seguenti sono stati ottenuto con LibreOffice Calc.

Consideriamo un semplice esempio: un circuito con un solo polo reale.

Il modulo del grafico asintotico presenta il massimo errore rispetto a quello reale in corrispondenza del polo. Questo errore vale 3 dB circa. In figura: in rosso il diagramma asintotico, in blu quello reale

Polo reale - modulo

Il grafico della fase "a gradino" coincide con quello reale solo in corrispondenza del polo, ma presenta differenze importanti per tutto il resto dell'asse delle frequenze, per un'estensione di ben oltre due decadi
Il grafico della fase tracciato individuando i punti una decade prima e una decade dopo il polo presenta il massimo errore proprio in corrispondenza di questi punti. Tale errore vale circa 6°.

Nella figura seguente l'andamento della fase: in giallo il grafico "a gradino"; in rosso quello ottenuto individuando i punti una decade prima e una dopo; in blu l'andamento reale. Si noti che i tre grafici coincidono oltre che per i valori di s molto lontani dal polo, anche in corrispondenza del polo stesso.

Polo reale - La fase

Queste conclusioni sono valide anche per gli zeri. Nel caso di due poli (o zeri) coincidenti è possibile, in prima approssimazione, raddoppiare l'entità dell'errore.

Questo metodo per valutare l'errore perde però significato man mano che aumenta il numero di poli e zeri, soprattutto se vicini tra loro.

La figura seguente mostra un esempio di confronto tra i grafici di un diagramma asintotico con diversi poli e zeri ed uno reale. La funzione utilizzata è la stessa del primo esempio:

Diagramma di bode reale ed asintorico - modulo

Nel grafico riportato qui sopra, relativo al modulo, la linea in rosso è relativa al diagramma asintotico; la linea blu è quella reale. Come si vede i due grafici sono praticamente coincidenti. Il punto di maggior distanza si ha, ovviamente, in corrispondenza del polo doppio e vale circa 6 dB.

Diagramma di bode reale ed asintorico - fase

Nel grafico riportato qui sopra la linea rossa è la fase "a gradini" già vista, la linea blu è quella reale. In questo caso i due grafici sono molto diversi anche se, vagamente, hanno un andamento simile.

Poli complessi

In presenza di poli complessi il diagramma asintotico diventa difficilmente disegnabile senza l'ausilio di un calcolatore o di grafici o tabelle di riferimento. In particolare:

Il grafico della fase reale tende ad assomigliare sempre più a quello "a gradino" tanto più la parte immaginaria diventa più grande rispetto a quella reale
Se parte reale ed immaginaria sono simili, il grafico del modulo reale tende ad avvicinarsi a quello asintotico. L'errore scende al di sotto dei 3 dB in corrispondenza del polo (o dello zero)
Se la parte immaginaria tende a diventare molto più grande di quella reale, il grafico del modulo presenta un massimo (o un minimo) nei pressi del polo (risonanza). In questo caso i due grafici reale ed asintotico possono essere anche estremamente diversi

I due grafici seguenti sono relativi alla funzione di trasferimento con poli complessi già esaminata. Anche in questi esempi in rosso il diagramma asintotico, in blu quello reale.

Diagramma di bode con poli complessi: il modulo

Il diagramma asintotico del modulo presenta, in questo caso, differenze trascurabili rispetto a quello reale, addirittura appare più accurato di altri casi sopra presentati. Ciò è dovuto al fatto che la parte immaginaria è simile alla parte reale.

Diagramma di bode con poli complessi: la fase

Anche il diagramma della fase è simile ad altri già visti.

Abbastanza diverso il caso i cui i due poli hanno parte immaginaria molto più grande di quella reale. Si consideri per esempio la funzione di trasferimento:

Poli immaginari... o quasi

I due poli hanno valore praticamente immaginario puro:

I poli immaginari: +/- 10

Il diagramma di bode del modulo presenta un massimo particolarmente elevato in corrispondenza del valore dei poli, in questo caso di ben 40 dB, cioè cento volte il valore calcolato con il diagramma di bode asintotico.

Il diagramma di bode del modulo con poli immaginari

Il diagramma di bode della fase, al contrario, praticamente tende a coincidere con quello "a gradino"

Il diagramma di bode dela fase con poli immaginari