Principi di Kirchhoff

I principi di Kirchhoff sono due, noti rispettivamente come equazioni alle maglie ed equazioni ai nodi:

  1. La somma algebrica delle tensioni lungo una maglia è pari a zero.

  2. La somma algebrica delle correnti in un nodo è pari a zero (forma alternativa: la somma delle correnti entranti in un nodo è pari alla somma delle correnti uscenti).

Tali leggi sono assolutamente generali e valgono per qualunque circuito (nota 2). Esse permettono di trovare tutte le correnti e tutte le tensioni in un circuito.

Esempi

Di seguito alcuni esempi relativi a circuiti molto semplici, facilmente risolvibili anche applicando la sola legge di Ohm e calcolando i resistori in serie e/o in parallelo.

Esempio 1

Troviamo nel seguente circuito la corrente e le due tensioni V1 e V2 ai capi di R1 ed R2

 Esercizio 1

I dati: R1 = R2 = 1 kΩ; Va = 10 V

Come operazione preliminare occorre, nell'ordine:

  1. Disegnare sullo schema le tensioni ai capi dei generatori, rispettando il verso presente nel testo; In questo caso abbiamo solo Va, disegniamo quindi la freccia diretta verso il "+"
  2. Disegnare le correnti dei generatori, rispettando per i versi la convenzione dei generatori; in questo caso abbiamo solo I, comune a tutti i componenti
  3. Disegnare le correnti in tutti i rimanenti rami, scegliendo il verso in modo arbitrario. In questo esempio non abbiamo altre correnti e quindi saltiamo questo passo
  4. Disegnare il verso delle tensioni ai capi di tutti gli utilizzatori, rispettando la convenzione degli utilizzatori.

Il circuito ottenuto è di seguito mostrato, con le tensioni indicate in azzurro e la corrente in verde. Per i nomi consiglio di fare scelte semplici e con cui è facile individuare errori, per esempio indicando la tensione con un nome che richiama quello del componente al quale si riferisce (per esempio V1 ai capi di R1).

Esempio 1

Possiamo scrivere l'equazione all'unica maglia. Occorre individuare un percorso chiuso, partendo da un punto arbitrario; muovendosi in un verso arbitrario si sommano le tensioni incontrate se concordi al verso di percorrenza, si sottraggono se discordi. In questo esempio si è scelto come punto di partenza quello intermedio tra R1 e Va e come verso di percorrenza quello orario (nota 6):

Equazione alla maglia

Possiamo quindi sostituire V1 e V2 con quanto ricavabile con la legge di Ohm (nota 3) e ricavare la corrente I:

Esercisio 1: soluzone

Possiamo infine utilizzare la legge di Ohm, applicata ai due resistori, e trovare V1 = V2 = 5 V.

Esempio 2

L'obbiettivo è trovare la tensione tra i due morsetti AB. Disegnare sullo schema le tensioni e l'unica corrente, rispettando per i versi la convenzione di generatori e utilizzatori. In figura tali grandezze sono già disegnate.

Esempio 2

Vediamo immediatamente che la corrente è nulla (il circuito è infatti aperto). Scriviamo quindi l'equazione alla maglia e risolviamo:

Esercizio 2 - soluzione

Esempio 3

Questo esempio sembra mettere in difficoltà il principio di Kirchhoff alle maglie.

Esempio m3

Se indichiamo il verso delle due tensioni e scriviamo l'equazione alla maglia otteniamo 3.3 V = 5 V, cosa evidentemente non possibile.

Questa contraddizione si risolve ricordando che non esistono generatori ideali, ma solo generatori reali, caratterizzati da una piccola resistenza in serie, "dimenticata" nell'esercizio. Vi consiglio di risolvere lo stesso circuito usando due generatori reali, con resistenza in serie di 1 Ω.

Reti lineari complesse

I principi di Kirchhoff si prestano molto bene nella risoluzione di reti complesse, con molti generatori e/o utilizzatori. In particolare questo metodo è la base di alcuni algoritmi per la soluzione di circuiti tramite calcolatore.

Come caso particolare consideriamo qui un circuito costituito da resistenze di valore noto e generatori di tensione di valore noto, formato da N nodi e R rami. Le incognite possono essere identificate nelle R correnti, una per ramo. Possiamo impostare un sistema di R equazioni lineari in R incognite; serviranno:

Le tensioni ai capi delle resistenze possono essere ricavata con la legge di Ohm, conoscendo le correnti.

Esempio 4

Al solito, disegniamo il verso delle correnti in tutti i rami (tre) e delle tensioni ai capi di ciascun componente (tre resistori, due generatori di tensione). Nel disegno sono già indicate. I nomi che utilizzati sono I1, I2 ed I3 per le correnti (dal nome della resistenza), V1, V2, V3, Va e Vb per le tensioni (dal nome del componente).

Esempio 4

Alcune osservazioni sulle scelte fatte:

  1. I versi di Va e Vb sono dati (+ e - nello schema)
  2. Le due correnti I1 e I2 hanno un verso che deriva dalla convenzione dei generatori (nota 4)
  3. I3 è stata scelta in modo arbitrario (nota 5)
  4. I versi delle tensioni ai capi dei resistori sono una diretta conseguenza delle scelte precedenti e della convenzione degli utilizzatori

Cosa andremo a scegliere:

Il sistema e relativa soluzione (nota 7):

Esercizio 4 - Sistema

La soluzione è un bell'esercizio di matematica... un po' noioso. La soluzione:

Si noti il segno negativo di I3: significa che la scelta arbitraria del verso della corrente I3 è errato. In realtà quindi I3 ha il verso opposto a quanto disegnato e vale 3,27 mA.

Esempio 5

Il seguente circuito è formato da:

Esercizio 5

Quindi:

Come già visto iniziamo scegliendo il verso di tensioni e correnti, alcune in modo obbligato, altre in modo arbitrario, rispettando sempre le convenzioni di generatori ed utilizzatori

Osservazioni:

Di seguito il sistema risolutivo: le prime tre sono le equazioni ai tre nodi in alto, le rimanenti sono le equazioni alle tre maglie interne.

Esercizio 5: soluzione

La soluzione numerica:

Usare risolutori lineari simbolici

In genere la risoluzione manuale con Kirchhoff è lunga ed è facile commettere errori; è invece ottima se si usano strumenti per il calcolo simbolico quali per esempio https://wims.unice.fr/wims/it_tool~linear~linsolver.it.html.

Di seguito un esempio relativo al seguente circuito:

Il sistema da risolvere potrebbe essere il seguente (nota 1):

Queste equazioni vanno inserire in WIMS:

Cliccando su risolvi il sistema si ottiene la soluzione:

Note

  1. Sono possibili anche scelte di altre maglie ed altri nodi
  2. Per la precisione, sono valide per i circuiti a parametri concentrati. In genere possono essere considerate una semplificazione delle equazioni di Maxwell utile per tutti i circuiti che non irraggiano energia elettromagnetica
  3. In presenza di utilizzatori diversi da resistori occorre applicare l'equazione che lega per tale bipolo corrente e tensione, spesso un'equazione esponenziale o di terzo grado. Ovviamente, pur nella semplicità concettuale, tale operazione è agevole solo usando un computer
  4. Consiglio vivamente di rispettare la convenzione. Nel caso di oggettiva impossibilità, significa che in realtà almeno uno dei generatori si sta comportando come utilizzatore. Per scoprire quale, occorrerà risolvere l'intero circuito
  5. In realtà sarebbe stato più comodo scegliere l'altro verso... Ma la procedura è corretta indipendentemente da questa scelta
  6. Scelte diverse portano ad equazioni diverse, ma ad un'identica soluzione
  7. Nelle formule seguenti le resistenze sono misurate in kΩ, le correnti in mA


Data di creazione di questa pagina: novembre 2019
Ultima modifica: 6 febbraio 2020


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