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Teorema di Thévenin 

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Il teorema di Thévenin afferma che qualunque bipolo lineare è equivalente agli effetti esterni ad un generatore reale di tensione; la resistenza interna di questo generatore equivalente (REQ) è quella vista dai terminali del bipolo dopo aver annullato i generatori indipendenti; la tensione del generatore (VEQ) è pari alla tensione misurata a vuoto ai capi del bipolo.

Le righe precedenti vedono la presenza di numerosi termini tecnici. Sono semplici, ma devono essere ben compresi per poter applicare il teorema

Bipolo
Rete elettrica, comunque complessa, collegata al mondo esterno solo attraverso una coppia di morsetti.
Bipolo lineare
Un bipolo o in genere un circuito è lineare se costituito esclusivamente da componenti lineari, per esempio solo da resistenze e generatori.
Equivalente
Due bipoli sono equivalenti se hanno lo stesso comportamento.
Equivalente agli effetti esterni
Due bipoli sono equivalenti agli effetti esterni se il loro comportamento visto attraverso i morsetti (quindi dal di fuori) non permette di distinguerli. Internamente invece i due bipoli possono avere struttura e comportamento diversi. A volte sono indicati con il termine black-box in quanto, se visti dall'esterno, non è possibile ricostruire la loro struttura interna che rimane così nascosta.
Generatore ideale di tensione
 Generatore che presenta ai suoi capi una tensione non legata alla corrente erogata.
Generatore reale di tensione
Generatore che presenta ai suoi capi una tensione dipendente linearmente dalla corrente erogata. È schematizzato da un generatore ideale di tensione in serie ad una resistenza spesso indicata con ROUT oppure RO (nota 2).
Generatore indipendente
Generatore che presenta ai suoi capi una tensione (o una corrente) che non dipende da tensioni (o correnti) presenti in altri punti del circuito (questo concetto verrà chiarito successivamente; tutti i generatori “normali”, sia ideali che reali, sono indipendenti).
Annullare un generatore ideale di tensione
Sostituire ad un generatore ideale di tensione un corto circuito (un filo).
Annullare un generatore reale di tensione
Sostituire ad un generatore reale di tensione la sua resistenza interna.
A vuoto
Lasciare i morsetti di un bipolo senza collegamenti verso l'esterno.

Come si utilizza il teorema di Thévenin :

Esempio 1 (bipolo)

Dato il seguente bipolo, determinare il suo circuito equivalente secondo Thevenin.

Thévenin

Il bipolo è lineare, quindi possiamo applicare il teorema di Thévenin.

Prima parte: VEQ

Occorre determinare la tensione tra i morsetti A e B nella situazione disegnata, cioè a vuoto. Tale tensione coincide con la tensione V2 ai capi di R2.

R1 ed R2 sono in serie in quanto attraversate dalla stessa corrente (nota 3):

I2

Troviamo la tensione ai capi di R2 con la legge di Ohm:

VEQ

Seconda parte: REQ

Dopo aver annullato il generatore Va, il circuito diventa il seguente:

R1 ed R2 sono in parallelo (nota 4). REQ è pertanto di 500 Ω.

Conclusione

Il circuito equivalente secondo Thévenin di quello proposto è pertanto il seguente:

Qualunque circuito collegato ai morsetti A e B del circuito equivalente avrà esattamente lo stesso comportamento di uno collegato al circuito originario.

Esempio 2 (bipolo)

Dato il seguente bipolo, determinare il suo circuito equivalente secondo Thevenin. 

Il bipolo è lineare, quindi possiamo applicare il teorema di Thévenin.

Prima parte: VEQ

Occorre determinare la tensione ai morsetti A e B nella situazione disegnata, cioè a vuoto. Disegniamo il verso di tensioni (in blu) e correnti (in verde).

Scriviamo l'equazione di Kirchhoff alla maglia di sinistra.

Le due correnti I1 e I2 sono uguali in quanto la corrente I3 è nulla perché il circuito è aperto, a vuoto, come richiesto dal teorema. Indichiamo tale corrente con I12, calcoliamola e calcoliamo V2 ai capi di R2:

 

Scriviamo infine l'equazione alla maglia di destra:

I3 è nulla, quindi Vab = V2 = 2,5 V (nota 5).

Seconda parte: REQ

Dopo l'eliminazione di Va, il circuito diventa il seguente:

R1 è in parallelo a R2; quindi R12 = 500 Ω. R12 è in serie con R3 e quindi REQ è quindi pari a 1.5 KΩ.

Conclusione

Esempio 3 (bipolo)

Dato il seguente bipolo, determinare il suo circuito equivalente secondo Thevenin. 

Il bipolo è lineare, quindi possiamo applicare il teorema di Thévenin.

Prima parte: VEQ

Useremo i principi di Kirchhoff. Indichiamo i versi di tensioni e correnti.

Alcune osservazioni:

Scriviamo l'equazione alla maglia di sinistra e ricaviamo la corrente I:

Troviamo Vab scrivendo l'equazione alla maglia di destra:

Quindi VEQ = 4,43 V.

Seconda parte: REQ

Dopo aver annullato i due generatori, R1 ed R2 sono in parallelo. Quindi REQ = 0.667 KΩ.

Conclusione

Il bipolo equivalente è il seguente:

Esempio 4 (circuito generico)

Consideriamo il seguente circuito e calcoliamo la tensione V3 ai capi di R3 e la corrispondente corrente I3. I risultati sono già mostrati nello schema.

Non abbiamo un bipolo per il quale trovare il generatore reale equivalente agli effetti esterni. Possiamo però tagliare lungo la linea tratteggiata mostrata nello schema seguente ottenendo a sinistra un bipolo a cui applicheremo il teorema di Thevénin e a destra R3.

Il bipolo alla sinistra della linea tratteggiata è lineare, quindi possiamo applicare il teorema di Thévenin.

Il teorema di Thévenin afferma che la corrente in R3 (effetto esterno) non cambierà sostituendo il bipolo alla sinistra con il suo equivalente. Il bipolo equivalente è già stato calcolato nell'esempio 3. Di conseguenza il nuovo circuito è mostrato di seguito, con indicato I3 e V3, coincidenti con quanto proposto.

Esempio 5 (circuito generico)

Consideriamo il seguente circuito e calcoliamo la tensione VLED ai capi del LED e la corrispondente corrente ILED. I risultati sono già mostrati nello schema.

Non abbiamo un bipolo per il quale trovare il generatore reale equivalente agli effetti esterni. Possiamo però per esempio tagliare lungo la linea tratteggiata mostrata nello schema seguente ottenendo a sinistra un bipolo lineare e a destra il LED.

Il bipolo alla sinistra della linea tratteggiata è lineare, quindi possiamo applicare il teorema di Thévenin.

Si noti che il circuito sulla destra (il circuito esterno al bipolo) è costituito da un LED, elemento non lineare. Il teorema di Thevenin non richiede alcuna caratteristica speciale a tale circuito esterno, ma solo al bipolo che dovrà essere semplificato.

Il calcolo del bipolo equivalente è lasciato come esercizio. Di seguito il risultato e la verifica dell'equivalenza (nota 7)

Una soluzione alternativa

Per ricavare un bipolo si potrebbe in alternativa a quanto mostrato effettuare il "taglio" lungo la linea tratteggiata blu di seguito mostrata:

In questo caso il bipolo equivalente alla sinistra sarà costituito da VEQ = 5 V e REQ = 0,5 Ω (dimostrazione lasciata come esercizio).

Il circuito complessivo diventa di conseguenza quello di seguito mostrato, evidentemente equivalente per quanto riguarda ILED a quello precedentemente trovato.

Note

  1. Questa definizione è poco rigorosa. Più corretta, ma meno operativa, la seguente: un circuito è lineare se è possibile applicare il principio di sovrapposizione degli effetti
  2. Il termine reale in questo contesto non significa che esiste un oggetto fisico reale con questo comportamento... Il concetto di generatore reale rimane un modello teorico!
  3. Il fatto che tra R1 ed R2 sia disegnato un cerchietto è solo un elemento grafico: verso destra non esce/entra nessuna corrente, essendo i morsetti A e B aperti (a vuoto)
  4. Non si tratta di un errore! Questo circuito è infatti diverso dal precedente
  5. Alla stessa conclusione si poteva arrivare osservando che, a vuoto, in R3 non passa corrente e quindi tale resistenza non influenza il funzionamento del circuito e, semplicemente, può essere tolta; il circuito risulta quindi identico a quello del primo esempio (solo relativamente al calcolo di VEQ!)
  6. In realtà prima di fare questa affermazione dovremmo verificare di aver "indovinato" il verso della corrente
  7. Non è qui presente il calcolo della corrente e della tensione, che richiede soluzioni grafiche, soluzioni approssimate oppure la soluzione di equazioni esponenziali


Data di creazione di questa pagina: novembre 2019
Ultima modifica: 19 novembre 2019 


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