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La perla

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Questo problema mi è stato sottoposto molti anni fa a scuola, l'ho risolto in circa un minuto visto che non sono mai stato particolarmente rapido nei conti e ho dovuto cercare un po' una formula che non ricordavo. Diciamo che potrebbe essere un utile esercizio per tenere occupata una classe per una buona mezzora - o anche più - oppure per mettere in difficoltà un professore di matematica un po' altezzoso. Se non sono studenti o professori "troppo" intelligenti, ovviamente.

Il testo

Si consideri una sfera. In essa è praticato da parte a parte un foro cilindrico il cui asse coincide con il diametro. L'unico dato numerico noto è l'altezza del solido così ottenuto, indicato in figura con "h". Potrebbe trattarsi di una perla pronta per essere infilata in una collana, da cui il titolo della pagina.

Si calcoli il volume del solido così ottenuto, in figura in verde.

La perla in sezione

Qualche precisazione:

Due immagini fotorealistiche

Immagine di Margherita Aimone Immagine di Margherita Aimone

Il problema non è di difficile impostazione anche se richiede una qualche abilità. Vi propongo tre strade, a voi la scelta.

La traccia di soluzione (dedicata a che è bravo in geometria solida)

Si consideri il diametro della sfera (incognito) e con questo si calcoli il volume della sfera senza foro. Quindi si sottragga il volume del cilindro (di altezza nota ma raggio incognito) e quello delle due calotte sferiche (sono incognite tutte le misure). Alla fine ci sarà, con la semplificazione di tutte le incognite, la soluzione.

Un'altra traccia di soluzione (dedicata a chi se la cava con l'analisi matematica)

Si consideri la perla con il foro orizzontale e la si tagli verticalmente a metà; si ponga un riferimento cartesiano con l'origine al centro della sfera. Dopo di che si consideri una sottile fetta verticale, a forma di ciambella: il suo volume è il prodotto dello spessore dx per l'area della "ciambella" (cioè l'area del cerchio di raggio esterno meno l'area del cerchio interno). Infine si integri il tutto da 0 ad h/2, scoprendo che tutte le incognite si semplificano. Questa idea, a cui non avevo pensato, me l'ha inviata per primo Giuseppe.

La mia soluzione

Per fortuna però esiste una strada più semplice, al limite della banalità, basta aprire gli occhi per vederla. Se la trovate vuol dire che siete stati attenti almeno quanto me altrimenti vuol dire che vi piace complicarvi la vita percorrendo strade convenzionali, tipo le prime due proposte.

PS: non credete a H. L. Mencken quando dice "Ogni problema complesso ha una soluzione semplice, diretta e sbagliata"

La soluzione, da consultare solo se proprio non la trovi e questa notte non riesci a dormire.

PS: come ha fatto notare Dario su un gruppo di discussione, questo problema è apparso per la prima volta a pagina 86, capitolo 12 problema 7 in Samuel I. Jones "Mathematical Nuts" - 1932. Non lo sapevo.

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