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Metodo simbolico

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Il metodo simbolico è una tecnica che permette di applicare gli stessi strumenti matematici nati per la soluzione dei circuiti in corrente continua anche a quelli in corrente alternata. Per esempio le leggi di ohm e di kirchhoff, le definizioni di circuito equivalente di thévenin rimangono formalmente invariate.

Il metodo è applicabile alle seguenti condizioni:

  1. Tutti i generatori presenti sono sinusoidali
  2. Tutti i generatori presenti hanno la stessa frequenza
  3. I componenti presenti sono lineari. Quindi solo resistenze, condensatori e induttori ideali

A queste condizioni si verifica che tutte le tutte le correnti e tutte le tensioni presenti nel circuito sono sinusoidali e con la stessa frequenza (isofrequenziali).

In realtà le condizioni (1) e (2) possono essere superate osservando che in un circuito lineare vale il principio di sovrapposizione degli effetti e che il teorema di fourier permette di scomporre qualunque segnale in una somma di sinusoidi.

Rappresentazione di tensioni e correnti nel dominio del tempo

Una tensione sinusoidale è rappresentata nel dominio del tempo (ovviamente...) da una sinusoide. Qui sotto la sua rappresentazione grafica.

Sinusoide nel dominio del tempo

Guardando il grafico si osserva che:

Da questi valori è possibile risalire velocemente:

La funzione che descrive tale grafico è la seguente:

v(t) = Vpk sin(omega t + phi)

I simboli utilizzati sono gli stessi  già descritti con l'eccezione della fase φ: attraverso la formula sopra riportata, determina il valore della tensione all'istante t=0, cioè v(0). In alternativa si può dire che φ determina la traslazione orizzontale del grafico. Il calcolo analitico utilizzato per trovare il suo valore è descritto più sotto.

I fasori

Usare la funzione matematica per risolvere un circuito è estremamente complesso anche perché leggi altrimenti semplici come la legge di ohm, diventano equazioni che contengono integrali e derivate, con passaggi tutt'altro che semplici.

Per questo è stato introdotto il concetto di fasore cioè di vettore che, ruotando a velocità costante, genera la sinusoide. Una rappresentazione grafica animata è disponibile all'indirizzo upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/89/Unfasor.gif.

Il grafico seguente è relativo alla sinusoide riportata sopra:

La sinusoide può essere immaginata come generata dalla rotazione del vettore in senso positivo/antiorario, a velocità costante e a partire dalla posizione disegnata. Prima di vedere le formule è bene osservare con attenzione i due grafici, confrontandoli tra loro e con la funzione sinusoidale.

Un fasore

Per proseguire è necessario saper rispondere (senza passaggi numerici o formule) a domande del tipo:

Nota: il fasore può essere disegnato, al contrario di come qui illustrato, usando il valore efficace anziché quello di picco. Nulla cambia ma il passaggio al grafico è meno immediato

I numeri complessi

Per utilizzare le formule note dai circuito in corrente continua occorre trasformare:

La scelta è quella di utilizzare i numeri complessi.

Rappresentazione delle tensioni

Una tensione si rappresenta attraverso un numero complesso:

La sinusoide disegnata all'inizio di questa pagina nel dominio del tempo oppure dal fasore qui sopra si esprime quindi con il numero complesso in forma algebrica o cartesiana:

 V = 6 + 3.5j [V]

In alternativa è possibile usare una delle due forme polare con le quale si mettono in evidenza modulo e fase del fasore. Queste forme non verranno qui ulteriormente utilizzate.

Forma polare di una tensione

Si noti che non è riportata alcuna informazione sulla frequenza (dato che deve essere fornito in modo esplicito) o sulla forma del segnale (ma si tratta sempre di una sinusoide!)

Rappresentazione delle correnti

Le correnti si rappresentano in modo assolutamente analogo alle tensioni, sia dal punto di vista grafico che delle funzioni.

Rappresentazione delle impedenze

Le impedenze di condensatori, induttanze e resistori devono essere anche loro espresse attraverso un numero complesso:

Le impedenze dei componenti lineari passivi

Disegnando tali impedenze come vettori si osserva che:

Qualche formula

I legami tra le quattro grandezze che individuano un fasore (fase φ, modulo VPK, parte reale R e parte immaginaria I) possono essere ricavate usando semplici formule trigonometriche oppure il teorema di pitagora.

Alcune formule, in numero eccessivo, sono riportate di seguito. In realtà ne bastano un paio...

Formule

Si consiglia vivamente, prima di utilizzare queste formule, di trovare qualitativamente i risultati usando il grafico del fasore. Questo vale soprattutto per i segni.

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