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Diagrammi di bode asintotici

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I diagrammi di bode sono grafici che descrivono come varia il modulo e la fase di una funzione di trasferimento al variare della frequenza. Di seguito verrà illustrato con qualche esempio il tracciamento asintotico, cioè approssimato usando segmenti di rette.

Spesso il diagramma di bode è indicato anche col termine risposta in frequenza in quanto rappresenta come la risposta (cioè l'uscita) di un circuito cambia con la frequenza

I vari paragrafi illustrano situazioni via-via più complesse e quindi è opportuno leggere la pagina nell'ordine proposto.

La griglia da utilizzare è riportata nella pagina Unità logaritmiche - Griglia per i diagramma di bode:

Un diagramma di bode asintotico è costituito, nella versione semplificata qui descritta, esclusivamente da:

Spesso la pendenza di +20 dB/decade viene indicata come +1; la pendenza di -40 dB/decade viene indicata come -2; un segmento orizzontale con pendenza 0.

Caso 1 - Poli e zeri reali, minori di zero - Modulo

Le regole per tracciare il modulo del diagramma di bode sono le seguenti:

Nota importante: dire che la pendenza aumenta è diverso dal dire che il valore aumenta!

Per una verifica (parziale) del risultato possiamo osservare che la pendenza "finale" è pari al numero degli zeri meno il numero dei poli.

Vediamo un esempio:

 

Questa funzione di trasferimento presenta due zeri e tre poli, tutti negativi. Calcoliamoli e scriviamoli in ordine, secondo il valore del loro modulo, dal più piccolo al più grande:

  1. polo per s = -0,1, doppio (è elevato al quadrato!)
  2. zero per s = -1
  3. zero per s = -10
  4. polo per s = -50

Calcoliamo il valore "iniziale" in dB, ponendo s = 0 nella G(s). In alternativa, con lo stesso risultato, poteva essere usato un qualunque valore di s  molto più piccolo del polo o dello zero più piccolo, approssimando poi il risultato:

G(0) = 100 = 40 dB

  1. Scriviamo sul diagramma di bode i seguenti valori, cercando di occupare la parte centrale della griglia:
    • modulo dei poli, sull'asse delle ascisse
    • modulo degli zeri, sull'asse delle ascisse
    • il valore "iniziale" di G(0) sopra calcolato e qualche valore al di sopra o al di sotto, sull'asse delle ordinate
  2. Tracciamo una linea orizzontale dall'estrema sinistra della griglia fino al valore del modulo del primo polo o zero. Tale linea verso sinistra prosegue illimitatamente. In verde nel grafico
  3. Arrivati a 0,1 rad/s troviamo un polo doppio: la pendenza cambia di -2 e passa da 0 a -2 (-40 dB/decade, cioè nell'intervallo tra 0,1 e 1 diminuisce di 40 dB). Tratto blu
  4. Arrivati a 1 troviamo uno zero. La pendenza aumenta di 1e passa da -2 a -1. Tratto fucsia
  5. Arrivati a 10 troviamo un altro zero. La pendenza aumenta di 1 e passa da -1 a 0. Tratto giallo
  6. Arrivati a 50 troviamo l'ultimo polo. La pendenza cambia di -1 e passa da 0 a -1. Tratto arancione. Tale tratto prosegue illimitatamente senza variazioni di pendenza

Diagramma di bode - esempio

Si noti che i tratti fucsia e arancione sono tra loro paralleli, cosa ovvia osservando che entrambi hanno pendenza -20 dB/decade.

Si noti inoltre che la pendenza finale poteva essere facilmente prevista osservando che siamo in presenza di 3 poli e due zeri (2 - 3 = -1)

Caso 1bis - Poli e zeri reali, minori di zero - Fase "a gradini"

Le regole per tracciare il diagramma della fase sono le seguenti:

Nota importante: dire che la fase aumenta è diverso dal dire che la pendenza aumenta!

Applichiamo queste regole allo stesso esempio di cui sopra:

Diagramma di bode - Fase "a gradini"

Caso 2 - Poli o zeri nell'origine

Un polo (o uno zero) si dice nell'origine se ha valore zero.

Il procedimento è simile ai precedenti con le seguenti aggiunte:

Vediamo un esempio:

Funzione di trasferimento con polo nell'origine

Questa funzione di trasferimento presenta uno zero e due poli. Calcoliamoli e scriviamoli ordinandoli secondo il loro modulo, dal più piccolo al più grande in modulo:

  1. polo per s = 0 (nell'origine)
  2. zero per s = -0,1
  3. polo per s = -1

Come sempre in questi casi, non possiamo calcolare la G(0) in quanto risulta una forma indeterminata (∞). Calcoliamo quindi, per esempio, la G(s) per un valore di s pari a 0,001, molto più piccolo di 0,1:

G(0,001) = 100 = 40 dB

  1. Scriviamo sul diagramma di bode i seguenti valori, cercando di occupare la parte centrale della griglia:
    •  modulo del polo diverso da 0
    •  modulo dello zero
    • valore di s utilizzato nella formula sopra riportata
    • valore del guadagno un corrispondenza del valore di s sopra scelto
  2. Abbiamo un polo nell'origine: il grafico parte già inclinato di -1. Tale retta deve passare per il punto (0.001; 40),  sopra calcolato. Verso sinistra, al di fuori del grafico, il grafico continua a salire. In verde
  3. A 0,1 troviamo uno zero, la pendenza passa da -1 a 0. In blu
  4. A 1 troviamo un polo, la pendenza diventa -1. In giallo
  5. La fase inizia da -90°; a 0,1 passa a 0°; a 1 torna definitivamente a -90°. In arancione, disegnata sullo stesso grafico del modulo, come in genere si preferisce fare

Diagramma di bode con polo nell'origine - Modulo e fase

Approssimiamo meglio la fase

Come detto, il disegno "a gradini" della fase ha una precisione molto bassa.

Per meglio approssimare il grafico possiamo aggiungere la seguente regola:

Vediamo un primo esempio, con due poli piuttosto lontani tra di loro.

G(s)

Oltre al modulo (in verde) è riportato il grafico della fase "a gradini" (in giallo) e quello meglio approssimato (in blu).

Fase approssimata in modo migliore

Osservazioni:

Poli e zeri positivi

Occorre preliminarmente precisare che questo caso non si verifica mai nei sistemi costituiti da soli componenti RLC. Potrebbero invece essere presenti in sistemi retroazionati, più complessi.

Per quanto riguarda il grafico del modulo non cambia nulla rispetto a quanto già detto.

Per quanto riguarda la fase il comportamento è esattamente il contrario di quanto descritto:

Poli e zeri complessi

Le soluzioni di un'equazione di grado n sono sempre presenti n radici, alcune reale e altre complesse e coniugate, cioè coppie di soluzioni con parte reale coincidente e parte immaginaria cambiata di segno.

Se si considerano i soli grafici asintotici nulla cambia rispetto a quanto già descritto, avendo la sola avvertenza di considerare il modulo di poli e zeri. Per quanto riguarda la fase, il segno da considerare è quello della parte reale (in genere negativa). Evidentemente questi poli e questi zeri sono sempre doppi.

Vediamo un esempio:

g(s) con poli complessi

Troviamo i due poli. Il determinante è negativo e quindi è presente una parte immaginaria.

poli complessi coniugati, calcolo del modulo

Il diagramma asintotico di bode, modulo e fase, è quindi il seguente:

Poli complessi e coniugati: il diagramma di bode

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